giup mịnhh

Câu 1. a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;0)\cup(1;+\infty)$ Lời giải: Theo bảng biến thiên, ta thấy: - Trên khoảng $(-1;0)$, hàm số tăng từ $-\infty$ đến 3. - Trên khoảng $(1;+\infty)$, hàm số tăng từ $-\infty$ đến 3. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;0)\cup(1;+\infty)$. Đáp án đúng là: Đúng. b) Hàm số có ba điểm cực trị. Lời giải: Theo bảng biến thiên, ta thấy: - Tại $x=-1$, hàm số đạt cực đại bằng 3. - Tại $x=0$, hàm số đạt cực tiểu bằng -1. - Tại $x=1$, hàm số đạt cực đại bằng 3. Vậy hàm số có ba điểm cực trị. Đáp án đúng là: Đúng. c) Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 3. Lời giải: Theo bảng biến thiên, ta thấy: - Trên khoảng $(-\infty;-1)$, hàm số giảm từ $\infty$ đến 3. - Trên khoảng $(-1;0)$, hàm số tăng từ $-\infty$ đến 3. - Trên khoảng $(0;1)$, hàm số giảm từ 3 đến $-\infty$. - Trên khoảng $(1;+\infty)$, hàm số tăng từ $-\infty$ đến 3. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3. Đáp án đúng là: Đúng. d) Đồ thị hàm số không có tiệm cận. Lời giải: Theo bảng biến thiên, ta thấy: - Khi $x \to -\infty$, hàm số không có giới hạn hữu hạn. - Khi $x \to +\infty$, hàm số không có giới hạn hữu hạn. - Khi $x \to -1^-$, hàm số không có giới hạn hữu hạn. - Khi $x \to -1^+$, hàm số không có giới hạn hữu hạn. - Khi $x \to 0^-$, hàm số không có giới hạn hữu hạn. - Khi $x \to 0^+$, hàm số không có giới hạn hữu hạn. - Khi $x \to 1^-$, hàm số không có giới hạn hữu hạn. - Khi $x \to 1^+$, hàm số không có giới hạn hữu hạn. Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận. Đáp án đúng là: Đúng. Câu 2. a) Đồ thị (C) có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=-x-6$. Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb R\setminus[3]$ Ta có: $\lim_{x\rightarrow +\infty}(\frac{-x^2-3x+4}{x-3}+x+6)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{-x^2-3x+4+x^2-3x+6x-18}{x-3}=0$ $\lim_{x\rightarrow -\infty}(\frac{-x^2-3x+4}{x-3}+x+6)=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{-x^2-3x+4+x^2-3x+6x-18}{x-3}=0$ Vậy đồ thị (C) có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=-x-6$. Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb R\setminus[3]$ b) $y'=(\frac{-x^2-3x+4}{3-3})=\frac{-x^2+6x+5}{(x-3)^2},~\forall x+3$ Ta có: $y'=(\frac{-x^2-3x+4}{3-3})=\frac{(-2x-3)(x-3)-(-x^2-3x+4)}{(x-3)^2}=\frac{-x^2+6x+5}{(x-3)^2},~\forall x+3$ c) Đồ thị (C) nhận điểm $I(3;9)$ là tâm đối xứng. Ta có: $f(x)+f(6-x)=\frac{-x^2-3x+4}{x-3}+\frac{-(6-x)^2-3(6-x)+4}{6-x-3}=\frac{-x^2-3x+4}{x-3}+\frac{x^2-9x+20}{x-3}=\frac{18}{x-3}$ Vậy đồ thị (C) nhận điểm $I(3;9)$ là tâm đối xứng. d) Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;3). Ta có: $y'=\frac{-x^2+6x+5}{(x-3)^2},~\forall x+3$ $y'=0\Leftrightarrow -x^2+6x+5=0$ $\Leftrightarrow x=3-\sqrt{14}$ hoặc $x=3+\sqrt{14}$ Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(3-\sqrt{14};3)$ và $(3;3+\sqrt{14})$ Mà $(2;3)\subset (3-\sqrt{14};3)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng (2;3). Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. 2. Xác định tính chất của các điểm cực trị (cực đại hoặc cực tiểu). 3. Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. Bước 1: Giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = (x+1)^2(1-x)(x+3) = 0 \] Phương trình này có các nghiệm: \[ x = -1, x = 1, x = -3 \] Bước 2: Xác định tính chất của các điểm cực trị: - Tại \( x = -3 \): \[ f'(-3) = 0 \] Ta kiểm tra đạo hàm ở hai bên điểm này: \[ f'(-4) = (-4+1)^2(1-(-4))((-4)+3) = 9 \cdot 5 \cdot (-1) < 0 \] \[ f'(-2) = (-2+1)^2(1-(-2))((-2)+3) = 1 \cdot 3 \cdot 1 > 0 \] Do đó, \( f(x) \) đạt cực tiểu tại \( x = -3 \). - Tại \( x = -1 \): \[ f'(-1) = 0 \] Ta kiểm tra đạo hàm ở hai bên điểm này: \[ f'(-2) = (-2+1)^2(1-(-2))((-2)+3) = 1 \cdot 3 \cdot 1 > 0 \] \[ f'(0) = (0+1)^2(1-0)(0+3) = 1 \cdot 1 \cdot 3 > 0 \] Do đó, \( f(x) \) không đạt cực trị tại \( x = -1 \). - Tại \( x = 1 \): \[ f'(1) = 0 \] Ta kiểm tra đạo hàm ở hai bên điểm này: \[ f'(0) = (0+1)^2(1-0)(0+3) = 1 \cdot 1 \cdot 3 > 0 \] \[ f'(2) = (2+1)^2(1-2)(2+3) = 9 \cdot (-1) \cdot 5 < 0 \] Do đó, \( f(x) \) đạt cực đại tại \( x = 1 \). Bước 3: Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số: - Trên khoảng \( (-\infty, -3) \), \( f'(x) < 0 \) nên hàm số nghịch biến. - Trên khoảng \( (-3, -1) \), \( f'(x) > 0 \) nên hàm số đồng biến. - Trên khoảng \( (-1, 1) \), \( f'(x) > 0 \) nên hàm số đồng biến. - Trên khoảng \( (1, +\infty) \), \( f'(x) < 0 \) nên hàm số nghịch biến. Từ các kết quả trên, chúng ta có: a) Hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \). Đúng. b) Giá trị cực tiểu của hàm số là \( f(-3) \). Đúng. c) Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-3, 1) \). Sai, vì trên khoảng \( (-3, -1) \) và \( (-1, 1) \) hàm số đồng biến. d) Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-1, 1) \). Đúng. Vậy các phát biểu đúng là: a) Đúng b) Đúng d) Đúng Câu 4. a) Tìm vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 2; 3 + 1; -1 - 1) = (-3; 4; -2) \] b) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (5 + 1; -3 - 3; 4 + 1) = (6; -6; 5) \] \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-3) \cdot 6 + 4 \cdot (-6) + (-2) \cdot 5 = -18 - 24 - 10 = -52 \] c) Tính cosin giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (5 - 2; -3 + 1; 4 - 1) = (3; -2; 3) \] \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29} \] \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 4 + 9} = \sqrt{22} \] \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-3) \cdot 3 + 4 \cdot (-2) + (-2) \cdot 3 = -9 - 8 - 6 = -23 \] \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{-23}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{22}} = \frac{-23}{\sqrt{638}} \] d) Tìm giá trị của $x$ để tam giác $ABD$ vuông tại $B$: \[ \overrightarrow{BA} = (3; -4; 2) \] \[ \overrightarrow{BD} = (1 + 1; 2 - 3; x + 1) = (2; -1; x + 1) \] \[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD} = 3 \cdot 2 + (-4) \cdot (-1) + 2 \cdot (x + 1) = 6 + 4 + 2x + 2 = 12 + 2x \] Để tam giác $ABD$ vuông tại $B$, ta có: \[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD} = 0 \] \[ 12 + 2x = 0 \] \[ 2x = -12 \] \[ x = -6 \] Đáp số: a) $\overrightarrow{AB} = (-3; 4; -2)$ b) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = -52$ c) $\cos(\theta) = \frac{-23}{\sqrt{638}}$ d) $x = -6$ Câu 1. Để tìm giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số \( y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2} \right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(x^2 + 3x + 3)'(x + 2) - (x^2 + 3x + 3)(x + 2)'}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{(2x + 3)(x + 2) - (x^2 + 3x + 3)}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 4x + 3x + 6 - x^2 - 3x - 3}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)^2} \] 2. Tìm điểm cực trị: Đặt \( y' = 0 \): \[ \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)^2} = 0 \] \[ (x + 1)(x + 3) = 0 \] \[ x = -1 \text{ hoặc } x = -3 \] 3. Xác định tính chất cực trị: - Tại \( x = -1 \): \[ y'' = \left( \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)^2} \right)' \] \[ y'' = \frac{(x + 2)^2 \cdot (2x + 4) - (x + 1)(x + 3) \cdot 2(x + 2)}{(x + 2)^4} \] \[ y'' = \frac{2(x + 2)[(x + 2) - (x + 1)(x + 3)]}{(x + 2)^4} \] \[ y'' = \frac{2[(x + 2) - (x^2 + 4x + 3)]}{(x + 2)^3} \] \[ y'' = \frac{2(-x^2 - 2x - 1)}{(x + 2)^3} \] \[ y'' = \frac{-2(x + 1)^2}{(x + 2)^3} \] Tại \( x = -1 \): \[ y'' = \frac{-2(-1 + 1)^2}{(-1 + 2)^3} = 0 \] Do đó, \( x = -1 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = -3 \): \[ y'' = \frac{-2(-3 + 1)^2}{(-3 + 2)^3} = \frac{-2 \cdot 4}{-1} = 8 > 0 \] Do đó, \( x = -3 \) là điểm cực tiểu. 4. Tính giá trị cực đại và cực tiểu: - Tại \( x = -1 \): \[ y = \frac{(-1)^2 + 3(-1) + 3}{-1 + 2} = \frac{1 - 3 + 3}{1} = 1 \] - Tại \( x = -3 \): \[ y = \frac{(-3)^2 + 3(-3) + 3}{-3 + 2} = \frac{9 - 9 + 3}{-1} = -3 \] Vậy giá trị cực đại \( M = 1 \) và giá trị cực tiểu \( m = -3 \). 5. Tính giá trị của biểu thức \( M^2 - 2m \): \[ M^2 - 2m = 1^2 - 2(-3) = 1 + 6 = 7 \] Đáp số: \( 7 \). Câu 2: Để tìm giá trị của \( x \) sao cho chi phí trung bình của mỗi phần ăn là thấp nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( \overline{C}(x) = 2x - 230 + \frac{7200}{x} \). Bước 1: Tìm đạo hàm của \( \overline{C}(x) \): \[ \overline{C}'(x) = 2 - \frac{7200}{x^2} \] Bước 2: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị: \[ 2 - \frac{7200}{x^2} = 0 \] \[ \frac{7200}{x^2} = 2 \] \[ x^2 = 3600 \] \[ x = 60 \quad (\text{vì } x > 0) \] Bước 3: Kiểm tra tính chất của đạo hàm ở hai bên điểm \( x = 60 \): - Khi \( x < 60 \), \( \overline{C}'(x) < 0 \) (hàm số giảm) - Khi \( x > 60 \), \( \overline{C}'(x) > 0 \) (hàm số tăng) Do đó, \( x = 60 \) là điểm cực tiểu của hàm số \( \overline{C}(x) \). Bước 4: Kiểm tra giá trị của \( \overline{C}(x) \) tại các điểm biên và điểm cực tiểu: - Tại \( x = 30 \): \[ \overline{C}(30) = 2(30) - 230 + \frac{7200}{30} = 60 - 230 + 240 = 70 \] - Tại \( x = 60 \): \[ \overline{C}(60) = 2(60) - 230 + \frac{7200}{60} = 120 - 230 + 120 = 10 \] - Tại \( x = 120 \): \[ \overline{C}(120) = 2(120) - 230 + \frac{7200}{120} = 240 - 230 + 60 = 70 \] Từ các kết quả trên, ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của \( \overline{C}(x) \) là 10, đạt được khi \( x = 60 \). Vậy số phần ăn \( x \) là 60 thì chi phí trung bình của mỗi phần ăn là thấp nhất. Câu 3. Để tìm giá trị của góc \( x \) giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính bình phương độ dài của \(\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}\): \[ |\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}|^2 = (6\sqrt{3})^2 = 108 \] 2. Áp dụng công thức tính bình phương tổng của hai vectơ: \[ |\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + 4|\overrightarrow{b}|^2 + 4(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) \] Biết rằng \( |\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = 6 \): \[ |\overrightarrow{a}|^2 = 6^2 = 36 \] \[ |\overrightarrow{b}|^2 = 6^2 = 36 \] Thay vào công thức: \[ 108 = 36 + 4 \times 36 + 4 (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) \] \[ 108 = 36 + 144 + 4 (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) \] \[ 108 = 180 + 4 (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) \] \[ 4 (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 108 - 180 \] \[ 4 (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = -72 \] \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -18 \] 3. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\): \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos x \] Biết rằng \( |\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = 6 \): \[ -18 = 6 \times 6 \times \cos x \] \[ -18 = 36 \cos x \] \[ \cos x = -\frac{18}{36} \] \[ \cos x = -\frac{1}{2} \] 4. Xác định giá trị của \( x \): \[ \cos x = -\frac{1}{2} \] Góc \( x \) có giá trị là \( 120^\circ \). Vậy giá trị của \( x \) là \( 120^\circ \). Câu 4. Đầu tiên, ta cần tìm vận tốc của máy bay. Ta biết rằng máy bay di chuyển từ điểm \(M(500, 200, 8)\) đến điểm \(N(800, 300, 10)\) trong 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai điểm \(M\) và \(N\): \[ MN = \sqrt{(800 - 500)^2 + (300 - 200)^2 + (10 - 8)^2} = \sqrt{300^2 + 100^2 + 2^2} = \sqrt{90000 + 10000 + 4} = \sqrt{100004} \] Vận tốc của máy bay: \[ v = \frac{\sqrt{100004}}{20} \text{ km/phút} \] Tiếp theo, ta cần tìm tọa độ của máy bay sau 5 phút nữa. Ta sẽ tính khoảng cách máy bay di chuyển trong 5 phút: \[ s = v \times 5 = \frac{\sqrt{100004}}{20} \times 5 = \frac{\sqrt{100004}}{4} \text{ km} \] Ta tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(MN\): \[ \vec{MN} = (800 - 500, 300 - 200, 10 - 8) = (300, 100, 2) \] Vectơ chỉ phương này có độ dài: \[ |\vec{MN}| = \sqrt{300^2 + 100^2 + 2^2} = \sqrt{100004} \] Vectơ đơn vị chỉ phương của đường thẳng \(MN\): \[ \vec{u} = \left(\frac{300}{\sqrt{100004}}, \frac{100}{\sqrt{100004}}, \frac{2}{\sqrt{100004}}\right) \] Khoảng cách máy bay di chuyển trong 5 phút: \[ s = \frac{\sqrt{100004}}{4} \text{ km} \] Tọa độ mới của máy bay sau 5 phút nữa: \[ (a, b, c) = N + s \cdot \vec{u} = (800, 300, 10) + \frac{\sqrt{100004}}{4} \cdot \left(\frac{300}{\sqrt{100004}}, \frac{100}{\sqrt{100004}}, \frac{2}{\sqrt{100004}}\right) \] \[ = (800, 300, 10) + \left(\frac{300}{4}, \frac{100}{4}, \frac{2}{4}\right) \] \[ = (800, 300, 10) + (75, 25, 0.5) \] \[ = (875, 325, 10.5) \] Cuối cùng, ta tính \(a + b + 2c\): \[ a + b + 2c = 875 + 325 + 2 \times 10.5 = 875 + 325 + 21 = 1221 \] Đáp số: \(1221\) Câu 5. Gọi chiều dài và chiều rộng của trang sách lần lượt là $x$ và $y$ (đơn vị: cm). Ta có diện tích của trang sách là: \[ xy = 384 \] Phần còn lại của trang sách sau khi để lề trên, lề dưới, lề trái và lề phải sẽ có chiều dài là \( x - 6 \) và chiều rộng là \( y - 4 \). Diện tích phần còn lại của trang sách là: \[ A = (x - 6)(y - 4) \] Thay \( y = \frac{384}{x} \) vào biểu thức trên ta được: \[ A = (x - 6)\left(\frac{384}{x} - 4\right) \] \[ A = (x - 6)\left(\frac{384 - 4x}{x}\right) \] \[ A = \frac{(x - 6)(384 - 4x)}{x} \] \[ A = \frac{384x - 4x^2 - 2304 + 24x}{x} \] \[ A = \frac{-4x^2 + 408x - 2304}{x} \] \[ A = -4x + 408 - \frac{2304}{x} \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( A \), ta tính đạo hàm của \( A \) theo \( x \): \[ A' = -4 + \frac{2304}{x^2} \] Đặt \( A' = 0 \): \[ -4 + \frac{2304}{x^2} = 0 \] \[ \frac{2304}{x^2} = 4 \] \[ x^2 = 576 \] \[ x = 24 \quad (\text{vì } x > 0) \] Thay \( x = 24 \) vào \( y = \frac{384}{x} \): \[ y = \frac{384}{24} = 16 \] Tổng chiều dài và chiều rộng của trang sách là: \[ x + y = 24 + 16 = 40 \] Vậy tổng chiều dài và chiều rộng của trang sách để phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất là 40 cm. Câu 6. Để tính khoảng tứ phân vị (\(\Delta_Q\)) của mẫu số liệu ghép nhóm của ao cá thứ nhất và ao cá thứ hai, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các giới hạn nhóm và tần số tích lũy Ao cá thứ nhất: | Cân nặng (g) | Số con cá | Tần số tích lũy | |-------------|-----------|----------------| | [333;383) | 21 | 21 | | [383;433) | 29 | 50 | | [433;483) | 33 | 83 | | [483;533) | 37 | 120 | | [533;583) | 13 | 133 | Ao cá thứ hai: | Cân nặng (g) | Số con cá | Tần số tích lũy | |-------------|-----------|----------------| | [333;383) | 14 | 14 | | [383;433) | 16 | 30 | | [433;483) | 50 | 80 | | [483;533) | 30 | 110 | | [533;583) | 23 | 133 | Bước 2: Tìm Q1 và Q3 cho mỗi mẫu số liệu Ao cá thứ nhất: - Tổng số lượng cá: 133 - Q1 nằm ở vị trí \(\frac{133}{4} = 33.25\) (tương ứng với nhóm [383;433)) - Q3 nằm ở vị trí \(3 \times 33.25 = 99.75\) (tương ứng với nhóm [483;533)) Ao cá thứ hai: - Tổng số lượng cá: 133 - Q1 nằm ở vị trí \(\frac{133}{4} = 33.25\) (tương ứng với nhóm [383;433)) - Q3 nằm ở vị trí \(3 \times 33.25 = 99.75\) (tương ứng với nhóm [483;533)) Bước 3: Tính khoảng tứ phân vị (\(\Delta_Q\)) Ao cá thứ nhất: - Q1: 383 + \(\frac{(33.25 - 21)}{29} \times 50\) = 383 + \(\frac{12.25}{29} \times 50\) ≈ 383 + 21.1 ≈ 404.1 - Q3: 483 + \(\frac{(99.75 - 83)}{37} \times 50\) = 483 + \(\frac{16.75}{37} \times 50\) ≈ 483 + 22.6 ≈ 505.6 - \(\Delta_Q\) = Q3 - Q1 = 505.6 - 404.1 = 101.5 Ao cá thứ hai: - Q1: 383 + \(\frac{(33.25 - 14)}{16} \times 50\) = 383 + \(\frac{19.25}{16} \times 50\) ≈ 383 + 59.5 ≈ 442.5 - Q3: 483 + \(\frac{(99.75 - 80)}{30} \times 50\) = 483 + \(\frac{19.75}{30} \times 50\) ≈ 483 + 32.9 ≈ 515.9 - \(\Delta_Q\) = Q3 - Q1 = 515.9 - 442.5 = 73.4 Bước 4: Tính hiệu khoảng tứ phân vị \[ (\Delta_Q - \Delta_Q) = 101.5 - 73.4 = 28.1 \] Vậy, hiệu khoảng tứ phân vị giữa hai mẫu số liệu là 28.1.