giải bài tập

Để kiểm tra xem hòn đảo nhỏ có nằm trên mặt phẳng cách trạm thu phát sóng một khoảng bằng 5,89 km hay không, ta cần tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng đi qua các đỉnh A, B, C của hòn đảo. Bước 1: Tìm phương trình mặt phẳng đi qua các điểm A, B, C. - Vector AB = B - A = (-6 - 5; 2 - 7; 3 - 2) = (-11; -5; 1) - Vector AC = C - A = (2 - 5; -5 - 7; -3 - 2) = (-3; -12; -5) - Vector pháp tuyến n của mặt phẳng là tích vector của AB và AC: \[ n = AB \times AC = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -11 & -5 & 1 \\ -3 & -12 & -5 \end{vmatrix} = i((-5)(-5) - (1)(-12)) - j((-11)(-5) - (1)(-3)) + k((-11)(-12) - (-5)(-3)) \] \[ = i(25 + 12) - j(55 + 3) + k(132 - 15) \] \[ = 37i - 58j + 117k \] Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(5; 7; 2) và có vector pháp tuyến n(37; -58; 117): \[ 37(x - 5) - 58(y - 7) + 117(z - 2) = 0 \] \[ 37x - 185 - 58y + 406 + 117z - 234 = 0 \] \[ 37x - 58y + 117z - 13 = 0 \] Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm I(3; -2; 5) đến mặt phẳng 37x - 58y + 117z - 13 = 0. Khoảng cách D từ điểm (x0, y0, z0) đến mặt phẳng ax + by + cz + d = 0 được tính bằng công thức: \[ D = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Áp dụng vào bài toán: \[ D = \frac{|37(3) - 58(-2) + 117(5) - 13|}{\sqrt{37^2 + (-58)^2 + 117^2}} \] \[ = \frac{|111 + 116 + 585 - 13|}{\sqrt{1369 + 3364 + 13689}} \] \[ = \frac{|809|}{\sqrt{18422}} \] \[ = \frac{809}{135.73} \approx 5.96 \text{ km} \] Kết luận: Khoảng cách từ trạm thu phát sóng đến mặt phẳng đi qua các đỉnh của hòn đảo là khoảng 5,96 km, không bằng 5,89 km. Do đó, câu trả lời là "Sai".