roánnn mát mát

Câu 1. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta thấy rằng: - Khi $x$ tăng từ $-\infty$ đến $x = -1$, hàm số giảm. - Tại điểm $x = -1$, hàm số đạt giá trị cực tiểu là $f(-1) = -1$. - Khi $x$ tăng từ $x = -1$ đến $x = 1$, hàm số tăng. - Tại điểm $x = 1$, hàm số đạt giá trị cực đại là $f(1) = 2$. - Khi $x$ tăng từ $x = 1$ đến $+\infty$, hàm số giảm. Do đó, giá trị cực đại của hàm số là 2, đạt được khi $x = 1$. Vậy đáp án đúng là: B. 2. Câu 2. Phương trình mặt cầu $(S)$ có dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $(a, b, c)$ và bán kính là $R$. So sánh phương trình $(S): (x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-3)^2 = 4$ với phương trình tổng quát trên, ta nhận thấy: - $a = 2$ - $b = -1$ - $c = 3$ Do đó, tâm của mặt cầu $(S)$ có tọa độ là $(2, -1, 3)$. Vậy đáp án đúng là: $C.~(2,-1,3).$ Đáp số: $C.~(2,-1,3).$ Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của logarit và mối liên hệ giữa các cơ số khác nhau. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Đối với bài toán này, không cần xác định ĐKXĐ vì đã cho $\log_8 p = m$, nghĩa là $p > 0$ và $m$ là giá trị thực. Bước 2: Biểu diễn $\log_2 p$ thông qua $\log_8 p$ - Ta biết rằng $\log_8 p = m$. Chúng ta cần chuyển đổi cơ số từ 8 sang 2 để dễ dàng hơn trong việc tính toán. - Sử dụng công thức chuyển đổi cơ số: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ - Áp dụng vào bài toán: $\log_8 p = \frac{\log_2 p}{\log_2 8}$ - Ta biết rằng $\log_2 8 = 3$ (vì $8 = 2^3$) Do đó: \[ \log_8 p = \frac{\log_2 p}{3} \] Bước 3: Thay giá trị $\log_8 p = m$ vào phương trình trên \[ m = \frac{\log_2 p}{3} \] Bước 4: Giải phương trình để tìm $\log_2 p$ \[ \log_2 p = 3m \] Vậy, $\log_2 p = 3m$ Đáp án đúng là: D. 3m Đáp số: $\log_2 p = 3m$ Câu 4. Trước tiên, ta sẽ xem xét từng cặp đường thẳng để xác định xem chúng có vuông góc với nhau hay không. A. BD và C'D' - BD nằm trong mặt đáy ABCD, còn C'D' nằm trong mặt trên A'B'C'D'. - Vì hình hộp chữ nhật có các mặt đáy và mặt trên song song với nhau, nên BD không vuông góc với C'D'. B. AA' và BD - AA' là đường thẳng đứng từ đỉnh A lên đỉnh A', tức là nó vuông góc với mặt đáy ABCD. - BD nằm trong mặt đáy ABCD, do đó AA' vuông góc với BD. C. A'B và CD - A'B nằm trong mặt trước ABB'A', còn CD nằm trong mặt đáy ABCD. - Vì A'B và CD không cùng nằm trong một mặt phẳng và không vuông góc trực tiếp với nhau, nên chúng không vuông góc. D. BB' và DD' - BB' và DD' đều là các đường thẳng đứng từ các đỉnh tương ứng lên đỉnh đối diện, tức là chúng song song với nhau. - Do đó, BB' và DD' không vuông góc. Từ các lập luận trên, ta thấy rằng chỉ có cặp đường thẳng AA' và BD là vuông góc với nhau. Đáp án đúng là: B. AA' và BD. Câu 5. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( F(x) = \sin 2x \), chúng ta cần tìm một hàm số \( f(x) \) sao cho đạo hàm của \( f(x) \) bằng \( \sin 2x \). Ta xét đạo hàm của các hàm số đã cho: A. \( f_3(x) = \cos 2x \) Tính đạo hàm: \[ f'_3(x) = -2 \sin 2x \] B. \( f_2(x) = 2 \cos 2x \) Tính đạo hàm: \[ f'_2(x) = -4 \sin 2x \] C. \( f_1(x) = \frac{1}{2} \cos 2x \) Tính đạo hàm: \[ f'_1(x) = -\sin 2x \] D. \( f_4(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x \) Tính đạo hàm: \[ f'_4(x) = \sin 2x \] Như vậy, đạo hàm của \( f_4(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x \) chính là \( \sin 2x \). Do đó, hàm số \( F(x) = \sin 2x \) là một nguyên hàm của hàm số \( f_4(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x \). Đáp án đúng là: D. \( f_4(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x \). Câu 6. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $y = x^4 - 2x^2 + 5$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 5) = 4x^3 - 4x \] 2. Xác định dấu của đạo hàm: Ta cần giải bất phương trình $y' > 0$ để tìm các khoảng mà hàm số đồng biến. \[ 4x^3 - 4x > 0 \] Chia cả hai vế cho 4: \[ x^3 - x > 0 \] Factorize: \[ x(x^2 - 1) > 0 \] \[ x(x - 1)(x + 1) > 0 \] 3. Lập bảng xét dấu: Ta xét dấu của các thừa số $x$, $(x - 1)$ và $(x + 1)$ trên các khoảng: - Khi $x < -1$: $x < 0$, $x - 1 < 0$, $x + 1 < 0$. Tích của ba thừa số âm là số âm. - Khi $-1 < x < 0$: $x < 0$, $x - 1 < 0$, $x + 1 > 0$. Tích của hai thừa số âm và một thừa số dương là số dương. - Khi $0 < x < 1$: $x > 0$, $x - 1 < 0$, $x + 1 > 0$. Tích của hai thừa số âm và một thừa số dương là số âm. - Khi $x > 1$: $x > 0$, $x - 1 > 0$, $x + 1 > 0$. Tích của ba thừa số dương là số dương. Bảng xét dấu: \[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty, -1) & (-1, 0) & (0, 1) & (1, +\infty) \\ \hline x & - & - & + & + \\ x - 1 & - & - & - & + \\ x + 1 & - & + & + & + \\ \hline y' & - & + & - & + \\ \end{array} \] 4. Kết luận: Từ bảng xét dấu, ta thấy rằng $y' > 0$ trên các khoảng $(-1, 0)$ và $(1, +\infty)$. Do đó, hàm số $y = x^4 - 2x^2 + 5$ đồng biến trên các khoảng này. Trong các đáp án đã cho, chỉ có khoảng $(0; 1)$ nằm trong các khoảng mà hàm số đồng biến. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~(0;1)} \] Câu 7. Để tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{SB}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các vectơ: - $\overrightarrow{SA}$ là vectơ từ đỉnh S đến đỉnh A. - $\overrightarrow{SB}$ là vectơ từ đỉnh S đến đỉnh B. 2. Tìm tọa độ của các điểm: - Vì đáy ABC là tam giác đều với $AB = 1$, ta có thể đặt tọa độ của các đỉnh như sau: - Gọi O là tâm của tam giác đều ABC, ta có $OA = OB = OC = \frac{1}{\sqrt{3}}$. - Ta đặt tọa độ của các đỉnh như sau: - $A(0, 0, 0)$ - $B(1, 0, 0)$ - $C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$ - $O\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, 0\right)$ - Vì SB vuông góc với mặt phẳng đáy và $SB = 1$, ta có tọa độ của S là: - $S\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, 1\right)$ 3. Tính tọa độ của các vectơ: - $\overrightarrow{SA} = A - S = \left(0 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{6}, 0 - 1\right) = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{6}, -1\right)$ - $\overrightarrow{SB} = B - S = \left(1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{6}, 0 - 1\right) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{6}, -1\right)$ 4. Tính tích vô hướng: - Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{SB}$ được tính bằng công thức: \[ \overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{SB} = \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{\sqrt{3}}{6}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{6}\right) + (-1) \cdot (-1) \] \[ = -\frac{1}{4} + \frac{3}{36} + 1 \] \[ = -\frac{1}{4} + \frac{1}{12} + 1 \] \[ = -\frac{3}{12} + \frac{1}{12} + 1 \] \[ = -\frac{2}{12} + 1 \] \[ = -\frac{1}{6} + 1 \] \[ = \frac{5}{6} \] Như vậy, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{SB}$ là $\frac{5}{6}$. Đáp án đúng là: A. 1 Câu 8. Cấp số cộng đã cho có số hạng đầu là \( a_1 = 6 \) và công sai là \( d = 17 - 6 = 11 \). Số hạng thứ 10 của cấp số cộng được tính bằng công thức: \[ a_{10} = a_1 + (10-1) \cdot d \] Thay các giá trị vào công thức: \[ a_{10} = 6 + 9 \cdot 11 \] \[ a_{10} = 6 + 99 \] \[ a_{10} = 105 \] Vậy số hạng thứ 10 của cấp số cộng đã cho là 105. Đáp án đúng là: D. 105. Câu 9. Để tính $\int^2_0[f(x)-3]dx$, ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để tách nó thành hai phần riêng biệt. Ta có: \[ \int^2_0[f(x)-3]dx = \int^2_0 f(x) dx - \int^2_0 3 dx \] Theo đề bài, ta biết rằng: \[ \int^2_0 f(x) dx = 4 \] Bây giờ, ta cần tính $\int^2_0 3 dx$. Đây là tích phân của một hằng số, nên ta có: \[ \int^2_0 3 dx = 3 \cdot \int^2_0 1 dx = 3 \cdot [x]^2_0 = 3 \cdot (2 - 0) = 3 \cdot 2 = 6 \] Vậy: \[ \int^2_0[f(x)-3]dx = 4 - 6 = -2 \] Do đó, đáp án đúng là: C. -2 Đáp số: C. -2 Câu 10. Để tìm số quả mít có cân nặng ít hơn 10 kg, chúng ta cần cộng tổng số quả mít thuộc các nhóm có cân nặng ít hơn 10 kg. Nhóm có cân nặng từ 4 đến 6 kg: 6 quả mít Nhóm có cân nặng từ 6 đến 8 kg: 12 quả mít Nhóm có cân nặng từ 8 đến 10 kg: 19 quả mít Tổng số quả mít có cân nặng ít hơn 10 kg là: 6 + 12 + 19 = 37 quả mít Vậy đáp án đúng là D. 37.