làm ngắn gọn dễ hiểu chính xác giúp mình Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y=f(x)=\frac{mx^3}3+7mx^2+14x-m+2$ nghịch,biến trên nửa khoảng $[1;+\infty)?$,$A.~(-\infty;-\frac{14}{15}].$,$B.~[-2;-\frac{14}{15}].$,$C.~[-\frac{14}{15};+\infty).$,$D.~(-\infty;-\frac{14}{15}).$

Question

Accepted Answer

Để hàm số $ y = f(x) = \frac{mx^3}{3} + 7mx^2 + 14x - m + 2 $ nghịch biến trên nửa khoảng $[1; +\infty)$, đạo hàm của nó phải không dương trên toàn bộ khoảng này.

1. Tính đạo hàm của $ f(x) $:
   $$
   f&#x27;(x) = mx^2 + 14mx + 14
   $$

2. Để hàm số nghịch biến trên $[1; +\infty)$, ta yêu cầu:
   $$
   f&#x27;(x) \leq 0 \quad \text{với mọi } x \geq 1
   $$
   Điều này có nghĩa là:
   $$
   mx^2 + 14mx + 14 \leq 0 \quad \text{với mọi } x \geq 1
   $$

3. Xét dấu của $ f&#x27;(x) $ tại $ x = 1 $:
   $$
   f&#x27;(1) = m(1)^2 + 14m(1) + 14 = m + 14m + 14 = 15m + 14
   $$
   Để $ f&#x27;(1) \leq 0 $:
   $$
   15m + 14 \leq 0 \implies m \leq -\frac{14}{15}
   $$

4. Kiểm tra tính đúng đắn của điều kiện $ m \leq -\frac{14}{15} $:
   - Nếu $ m < 0 $, thì $ mx^2 + 14mx + 14 $ là một parabol mở xuống.
   - Ta cần kiểm tra rằng $ f&#x27;(x) \leq 0 $ cho mọi $ x \geq 1 $.

5. Vì $ m < 0 $, ta có:
   $$
   mx^2 + 14mx + 14 \leq 0 \quad \text{cho mọi } x \geq 1
   $$
   Điều này sẽ thỏa mãn nếu $ m \leq -\frac{14}{15} $.

Do đó, các giá trị thực của tham số $ m $ để hàm số $ y = f(x) $ nghịch biến trên nửa khoảng $[1; +\infty)$ là:
$$
m \leq -\frac{14}{15}
$$

Đáp án đúng là:
$$
\boxed{A. (-\infty; -\frac{14}{15}]}
$$