giúp em vớiiiiii

Bài 2: Câu a: Tìm cực trị của hàm số \( y = \frac{x}{x^2 + 9} \) Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \[ y = \frac{x}{x^2 + 9} \] Sử dụng quy tắc thương: \[ y' = \frac{(x)'(x^2 + 9) - x(x^2 + 9)'}{(x^2 + 9)^2} \] \[ y' = \frac{1 \cdot (x^2 + 9) - x \cdot 2x}{(x^2 + 9)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 9 - 2x^2}{(x^2 + 9)^2} \] \[ y' = \frac{-x^2 + 9}{(x^2 + 9)^2} \] Bước 2: Tìm các điểm tới hạn \[ y' = 0 \] \[ \frac{-x^2 + 9}{(x^2 + 9)^2} = 0 \] \[ -x^2 + 9 = 0 \] \[ x^2 = 9 \] \[ x = 3 \text{ hoặc } x = -3 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm tới hạn Ta sẽ kiểm tra dấu của \( y' \) trong các khoảng \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 3) \), và \( (3, \infty) \). - Khi \( x < -3 \): \[ y' = \frac{-x^2 + 9}{(x^2 + 9)^2} \] \[ -x^2 + 9 > 0 \Rightarrow y' > 0 \] - Khi \( -3 < x < 3 \): \[ y' = \frac{-x^2 + 9}{(x^2 + 9)^2} \] \[ -x^2 + 9 < 0 \Rightarrow y' < 0 \] - Khi \( x > 3 \): \[ y' = \frac{-x^2 + 9}{(x^2 + 9)^2} \] \[ -x^2 + 9 < 0 \Rightarrow y' < 0 \] Bước 4: Kết luận về cực trị - Tại \( x = -3 \), \( y' \) đổi dấu từ dương sang âm, do đó \( y \) đạt cực đại tại \( x = -3 \). \[ y(-3) = \frac{-3}{(-3)^2 + 9} = \frac{-3}{9 + 9} = \frac{-3}{18} = -\frac{1}{6} \] - Tại \( x = 3 \), \( y' \) đổi dấu từ âm sang âm, do đó \( y \) không đạt cực tiểu tại \( x = 3 \). Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số là \( -\frac{1}{6} \), đạt được khi \( x = -3 \). Câu b: Tìm cực trị của hàm số \( y = \frac{x + 3}{3x + 5} \) Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \[ y = \frac{x + 3}{3x + 5} \] Sử dụng quy tắc thương: \[ y' = \frac{(x + 3)'(3x + 5) - (x + 3)(3x + 5)'}{(3x + 5)^2} \] \[ y' = \frac{1 \cdot (3x + 5) - (x + 3) \cdot 3}{(3x + 5)^2} \] \[ y' = \frac{3x + 5 - 3x - 9}{(3x + 5)^2} \] \[ y' = \frac{-4}{(3x + 5)^2} \] Bước 2: Tìm các điểm tới hạn \[ y' = 0 \] \[ \frac{-4}{(3x + 5)^2} = 0 \] Phương trình này không có nghiệm vì tử số luôn khác 0. Bước 3: Xác định tính chất của hàm số Do \( y' \) luôn âm (vì mẫu số luôn dương), hàm số luôn giảm. Kết luận: Hàm số không có cực trị. Câu c: Tìm cực trị của hàm số \( y = 3 - 2\cos x - \cos 2x \) Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \[ y = 3 - 2\cos x - \cos 2x \] \[ y' = 2\sin x + 2\sin 2x \] \[ y' = 2\sin x + 4\sin x \cos x \] \[ y' = 2\sin x (1 + 2\cos x) \] Bước 2: Tìm các điểm tới hạn \[ y' = 0 \] \[ 2\sin x (1 + 2\cos x) = 0 \] \[ \sin x = 0 \text{ hoặc } 1 + 2\cos x = 0 \] \[ x = k\pi \text{ hoặc } \cos x = -\frac{1}{2} \] \[ x = k\pi \text{ hoặc } x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm tới hạn Kiểm tra dấu của \( y' \) trong các khoảng. - Khi \( x = 0 \): \[ y(0) = 3 - 2\cos 0 - \cos 0 = 3 - 2 - 1 = 0 \] - Khi \( x = \frac{2\pi}{3} \): \[ y\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 3 - 2\cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) - \cos \left(\frac{4\pi}{3}\right) \] \[ y\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 3 - 2\left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ y\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 3 + 1 + \frac{1}{2} = 4.5 \] Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số là \( 4.5 \), đạt được khi \( x = \frac{2\pi}{3} \). Câu d: Tìm cực trị của hàm số \( y = \sin^2 x - \sqrt{3} \cos x \) trên đoạn \([0, \pi]\) Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \[ y = \sin^2 x - \sqrt{3} \cos x \] \[ y' = 2\sin x \cos x + \sqrt{3} \sin x \] \[ y' = \sin x (2\cos x + \sqrt{3}) \] Bước 2: Tìm các điểm tới hạn \[ y' = 0 \] \[ \sin x (2\cos x + \sqrt{3}) = 0 \] \[ \sin x = 0 \text{ hoặc } 2\cos x + \sqrt{3} = 0 \] \[ x = 0, \pi \text{ hoặc } \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ x = 0, \pi \text{ hoặc } x = \frac{5\pi}{6} \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm tới hạn Kiểm tra giá trị của \( y \) tại các điểm \( x = 0, \pi, \frac{5\pi}{6} \). - Khi \( x = 0 \): \[ y(0) = \sin^2 0 - \sqrt{3} \cos 0 = 0 - \sqrt{3} = -\sqrt{3} \] - Khi \( x = \pi \): \[ y(\pi) = \sin^2 \pi - \sqrt{3} \cos \pi = 0 + \sqrt{3} = \sqrt{3} \] - Khi \( x = \frac{5\pi}{6} \): \[ y\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin^2 \left(\frac{5\pi}{6}\right) - \sqrt{3} \cos \left(\frac{5\pi}{6}\right) \] \[ y\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \sqrt{3} \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] \[ y\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{4} + \frac{3}{2} = \frac{7}{4} \] Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số là \( \frac{7}{4} \), đạt được khi \( x = \frac{5\pi}{6} \).