giải bài tập

Để giải quyết các câu hỏi về bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x-3)^2+(y+2)^2+(z-5)^2=36$ Phương trình mặt cầu có dạng: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] Trong đó, tâm của mặt cầu là $(a, b, c)$ và bán kính là $R$. Ở đây, tâm của mặt cầu là $(3, -2, 5)$ và bán kính là $6$ (vì $R^2 = 36$). b) Từ vị trí $N(2;1;\frac{55}{49})$ trên hòn đảo, một người chèo thuyền di chuyển với vectơ vận tốc $\overrightarrow v=(2;3;0)$ . Sau nửa giờ, người đó chưa thể sử dụng được dịch vụ của trạm thu phát sóng Đầu tiên, ta tính khoảng cách từ điểm $N$ đến tâm của mặt cầu $(3, -2, 5)$: \[ d = \sqrt{(2 - 3)^2 + (1 + 2)^2 + \left(\frac{55}{49} - 5\right)^2} \] Tính từng thành phần: \[ (2 - 3)^2 = (-1)^2 = 1 \] \[ (1 + 2)^2 = 3^2 = 9 \] \[ \left(\frac{55}{49} - 5\right) = \frac{55}{49} - \frac{245}{49} = \frac{-190}{49} \] \[ \left(\frac{-190}{49}\right)^2 = \frac{36100}{2401} \] Kết hợp lại: \[ d = \sqrt{1 + 9 + \frac{36100}{2401}} = \sqrt{\frac{2401 + 21609 + 36100}{2401}} = \sqrt{\frac{60110}{2401}} = \sqrt{25.03} \approx 5.003 \] Khoảng cách này nhỏ hơn bán kính của mặt cầu (6), nên điểm $N$ nằm trong vùng phủ sóng. Di chuyển với vectơ vận tốc $\overrightarrow v = (2, 3, 0)$ trong nửa giờ (0.5 giờ): \[ \text{Vectơ chuyển động} = 0.5 \times (2, 3, 0) = (1, 1.5, 0) \] Vị trí mới của người sau nửa giờ: \[ N' = (2 + 1, 1 + 1.5, \frac{55}{49} + 0) = (3, 2.5, \frac{55}{49}) \] Tính khoảng cách từ $N'$ đến tâm của mặt cầu: \[ d' = \sqrt{(3 - 3)^2 + (2.5 + 2)^2 + \left(\frac{55}{49} - 5\right)^2} \] \[ d' = \sqrt{0 + 4.5^2 + \left(\frac{-190}{49}\right)^2} = \sqrt{0 + 20.25 + \frac{36100}{2401}} = \sqrt{20.25 + 15.03} = \sqrt{35.28} \approx 5.94 \] Khoảng cách này vẫn nhỏ hơn bán kính của mặt cầu (6), nên người đó vẫn nằm trong vùng phủ sóng. c) Một người đi tàu đến vị trí có tọa độ $M(-2;5;3)$ thì tại vị trí này vẫn có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến tâm của mặt cầu $(3, -2, 5)$: \[ d_M = \sqrt{(-2 - 3)^2 + (5 + 2)^2 + (3 - 5)^2} \] \[ d_M = \sqrt{(-5)^2 + 7^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 49 + 4} = \sqrt{78} \approx 8.83 \] Khoảng cách này lớn hơn bán kính của mặt cầu (6), nên điểm $M$ nằm ngoài vùng phủ sóng. Kết luận: - Điểm $N$ ban đầu nằm trong vùng phủ sóng. - Sau nửa giờ, người đó vẫn nằm trong vùng phủ sóng. - Điểm $M$ nằm ngoài vùng phủ sóng. Đáp số: a) Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x-3)^2+(y+2)^2+(z-5)^2=36$ b) Sau nửa giờ, người đó vẫn nằm trong vùng phủ sóng. c) Điểm $M$ nằm ngoài vùng phủ sóng.