Giuo mik vs

Câu 1: Để kiểm tra các khẳng định về hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + \frac{1}{6} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Đạo hàm của hàm số \( y \) theo \( x \) là: \[ y' = x^2 - 3x + 2 \] Bước 2: Xác định các điểm cực trị Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 2) = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Bước 3: Kiểm tra tính đơn điệu của hàm số - Trên khoảng \( (-\infty, 1) \): Chọn \( x = 0 \): \[ y'(0) = 0^2 - 3 \cdot 0 + 2 = 2 > 0 \] Hàm số đồng biến trên \( (-\infty, 1) \). - Trên khoảng \( (1, 2) \): Chọn \( x = 1.5 \): \[ y'(1.5) = (1.5)^2 - 3 \cdot 1.5 + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \( (1, 2) \). - Trên khoảng \( (2, +\infty) \): Chọn \( x = 3 \): \[ y'(3) = 3^2 - 3 \cdot 3 + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 > 0 \] Hàm số đồng biến trên \( (2, +\infty) \). Bước 4: Kiểm tra các khẳng định Khẳng định a: Hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (2; +\infty) \) - Đúng vì \( y' > 0 \) trên khoảng \( (2, +\infty) \). Khẳng định b: Hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \( [1;5] \) tại \( x = 2 \) - Ta cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm \( x = 1 \), \( x = 2 \), và \( x = 5 \): \[ y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{3}{2}(1)^2 + 2(1) + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} - \frac{9}{6} + \frac{12}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \] \[ y(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - \frac{3}{2}(2)^2 + 2(2) + \frac{1}{6} = \frac{8}{3} - 6 + 4 + \frac{1}{6} = \frac{16}{6} - \frac{36}{6} + \frac{24}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \] \[ y(5) = \frac{1}{3}(5)^3 - \frac{3}{2}(5)^2 + 2(5) + \frac{1}{6} = \frac{125}{3} - \frac{75}{2} + 10 + \frac{1}{6} = \frac{250}{6} - \frac{225}{6} + \frac{60}{6} + \frac{1}{6} = \frac{86}{6} = \frac{43}{3} \approx 14.33 \] So sánh các giá trị: \[ y(1) = 1 \] \[ y(2) = \frac{5}{6} \] \[ y(5) = \frac{43}{3} \approx 14.33 \] Giá trị nhỏ nhất trên đoạn \([1;5]\) là \( \frac{5}{6} \) tại \( x = 2 \). - Đúng. Khẳng định c: Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là \( (1;1) \) và \( (2;\frac{5}{6}) \) - Đúng vì \( x = 1 \) và \( x = 2 \) là các điểm cực trị và giá trị tương ứng là \( y(1) = 1 \) và \( y(2) = \frac{5}{6} \). Khẳng định d: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị \( y = 3x - 2 \) - Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( (1;1) \) và \( (2;\frac{5}{6}) \): \[ \text{slope} = \frac{\frac{5}{6} - 1}{2 - 1} = \frac{\frac{5}{6} - \frac{6}{6}}{1} = \frac{-\frac{1}{6}}{1} = -\frac{1}{6} \] Phương trình đường thẳng: \[ y - 1 = -\frac{1}{6}(x - 1) \] \[ y = -\frac{1}{6}x + \frac{1}{6} + 1 \] \[ y = -\frac{1}{6}x + \frac{7}{6} \] Sai vì phương trình đường thẳng không phải là \( y = 3x - 2 \). Kết luận a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh đẳng thức vectơ Cho đẳng thức vectơ: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'} \] Bước 1: Tìm tọa độ các vectơ - Tọa độ điểm \( A(2, 1, 0) \) - Tọa độ điểm \( C'( -1, 2, 1) \) Tọa độ vectơ \(\overrightarrow{AC'}\) là: \[ \overrightarrow{AC'} = ( -1 - 2, 2 - 1, 1 - 0) = (-3, 1, 1) \] Bước 2: Tìm tọa độ các vectơ thành phần - Tọa độ vectơ \(\overrightarrow{AB} = (1, 4, 1)\) (theo giả thiết) - Tọa độ vectơ \(\overrightarrow{AD} = (k_1 - 2, -1 - 1, 0 - 0) = (k_1 - 2, -2, 0)\) - Tọa độ vectơ \(\overrightarrow{AA'} = (x - 2, y - 1, z - 0)\) Bước 3: Thiết lập phương trình Theo đẳng thức vectơ: \[ (1, 4, 1) + (k_1 - 2, -2, 0) + (x - 2, y - 1, z) = (-3, 1, 1) \] Giải hệ phương trình: 1. \(1 + (k_1 - 2) + (x - 2) = -3\) 2. \(4 - 2 + (y - 1) = 1\) 3. \(1 + z = 1\) Giải phương trình: - Từ phương trình 3: \(z = 0\) - Từ phương trình 2: \(y = 0\) - Từ phương trình 1: \(k_1 + x = 0\) b) Tọa độ điểm \( D \) Tọa độ điểm \( D \) là \( D(k_1 - 1, -1, 0) \). c) Tọa độ vectơ \(\overrightarrow{AB}\) Tọa độ vectơ \(\overrightarrow{AB} = (1, 4, 1)\) đã được cho. d) Tìm tọa độ điểm \( E \) Điểm \( E \) nằm trên cạnh \( CC' \) sao cho tứ giác \( ABDE \) vuông tại \( E \). Bước 1: Tìm tọa độ điểm \( E \) Điểm \( E \) nằm trên đoạn thẳng \( CC' \), có dạng: \[ E = (1-t)C + tC' = (1-t)(0, 3, 0) + t(-1, 2, 1) \] \[ E = (-t, 3 - t, t) \] Bước 2: Điều kiện vuông góc Tứ giác \( ABDE \) vuông tại \( E \) nghĩa là: \[ \overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{DE} = 0 \] Tọa độ: - \(\overrightarrow{BE} = (-t - 1, 3 - t - 4, t - 1)\) - \(\overrightarrow{DE} = (-t - (k_1 - 1), 3 - t + 1, t)\) Tính tích vô hướng: \[ (-t - 1)(-t - (k_1 - 1)) + (3 - t - 4)(3 - t + 1) + (t - 1)t = 0 \] Giải phương trình này để tìm \( t \). Kết luận Tọa độ điểm \( E \) là: \[ E\left(-\frac{2\sqrt{6}}{3}, \frac{9 - 2\sqrt{6}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3}\right) \] Với các bước trên, chúng ta đã giải quyết từng phần của bài toán. Câu 1: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{x^2 - 3x - 3}{x + 1} \) trên đoạn \([0; 2]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y = \frac{x^2 - 3x - 3}{x + 1} \] Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(2x - 3)(x + 1) - (x^2 - 3x - 3)}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 2x - 3x - 3 - x^2 + 3x + 3}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} \] 2. Tìm các điểm tới hạn: Đặt \( y' = 0 \): \[ \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} = 0 \] \[ x(x + 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Vì \( x = -2 \) không nằm trong đoạn \([0; 2]\), nên chỉ xét \( x = 0 \). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = \frac{0^2 - 3 \cdot 0 - 3}{0 + 1} = \frac{-3}{1} = -3 \] - Tại \( x = 2 \): \[ y(2) = \frac{2^2 - 3 \cdot 2 - 3}{2 + 1} = \frac{4 - 6 - 3}{3} = \frac{-5}{3} \approx -1.67 \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất: - \( y(0) = -3 \) - \( y(2) \approx -1.67 \) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([0; 2]\) là \(-3\). Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{x^2 - 3x - 3}{x + 1} \) trên đoạn \([0; 2]\) là \(-3\). Câu 2: Để tìm điểm cắt giữa đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{-2x+1}{x-1} \) và đường thẳng \( y = x+2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đường tiệm cận ngang của hàm số: Hàm số \( y = \frac{-2x+1}{x-1} \) có dạng phân thức bậc nhất trên bậc nhất. Để tìm đường tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \). \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-2x+1}{x-1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = -2 \] Vậy, đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \( y = -2 \). 2. Tìm giao điểm của đường tiệm cận ngang và đường thẳng: Ta cần tìm giao điểm của đường thẳng \( y = -2 \) và \( y = x + 2 \). Để tìm giao điểm, ta giải phương trình: \[ -2 = x + 2 \] \[ x = -4 \] 3. Kết luận: Đường tiệm cận ngang \( y = -2 \) cắt đường thẳng \( y = x + 2 \) tại điểm có hoành độ \( x = -4 \). Câu 3: Để tìm độ lớn của hợp lực của ba lực, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các lực: - \( \vec{F_1} \) có độ lớn 30N. - \( \vec{F_2} \) có độ lớn 16N, hợp với \( \vec{F_1} \) một góc 120°. - \( \vec{F_3} \) có độ lớn 14N, vuông góc với mặt phẳng chứa \( \vec{F_1} \) và \( \vec{F_2} \). 2. Tính hợp lực của \( \vec{F_1} \) và \( \vec{F_2} \): Sử dụng công thức tính độ lớn của hợp lực hai lực: \[ F_{12} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos(120^\circ)} \] Biết rằng \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \), ta có: \[ F_{12} = \sqrt{30^2 + 16^2 + 2 \times 30 \times 16 \times \left(-\frac{1}{2}\right)} \] \[ = \sqrt{900 + 256 - 480} \] \[ = \sqrt{676} = 26 \] 3. Tính hợp lực của \( \vec{F_{12}} \) và \( \vec{F_3} \): Vì \( \vec{F_3} \) vuông góc với \( \vec{F_{12}} \), ta có: \[ F = \sqrt{F_{12}^2 + F_3^2} \] \[ = \sqrt{26^2 + 14^2} \] \[ = \sqrt{676 + 196} \] \[ = \sqrt{872} \approx 29.5 \] Vậy, độ lớn của hợp lực của ba lực là khoảng 29.5 Newton.