giúp mình nhé

Bài 1: a) Ta có: \[ A = |1 - \frac{1}{\sqrt{x} + 1}|(x + \sqrt{x}) \] Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \) Phân tích biểu thức: \[ 1 - \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} + 1 - 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \] Do đó: \[ A = \left| \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \right| (x + \sqrt{x}) \] Vì \( x \geq 0 \), ta có \( \sqrt{x} \geq 0 \), do đó: \[ \left| \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \right| = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \] Như vậy: \[ A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} (x + \sqrt{x}) \] b) Ta có: \[ B = \left| \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 4} + \frac{4}{\sqrt{x} - 4} \right| : \frac{x + 16}{\sqrt{x} + 2} \] Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \) và \( x \neq 16 \) Phân tích biểu thức: \[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 4} + \frac{4}{\sqrt{x} - 4} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 4) + 4(\sqrt{x} + 4)}{(\sqrt{x} + 4)(\sqrt{x} - 4)} = \frac{x - 4\sqrt{x} + 4\sqrt{x} + 16}{x - 16} = \frac{x + 16}{x - 16} \] Do đó: \[ B = \left| \frac{x + 16}{x - 16} \right| : \frac{x + 16}{\sqrt{x} + 2} \] Vì \( x \geq 0 \) và \( x \neq 16 \), ta có: \[ \left| \frac{x + 16}{x - 16} \right| = \frac{x + 16}{|x - 16|} \] Như vậy: \[ B = \frac{x + 16}{|x - 16|} \times \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 16} = \frac{\sqrt{x} + 2}{|x - 16|} \] c) Ta có: \[ Q = \left| \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} \right| (x + \sqrt{x}) \] Điều kiện xác định: \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \) Phân tích biểu thức: \[ \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 1)^2} \] \[ \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} \] Do đó: \[ Q = \left| \frac{\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 1)^2} - \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} \right| (x + \sqrt{x}) \] Tìm chung mẫu số: \[ \frac{\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 1)^2} - \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} = \frac{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1) - (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)^2(\sqrt{x} - 1)} \] Phân tích tiếp: \[ (\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1) = x + \sqrt{x} - 2 \] \[ (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 1) = x - \sqrt{x} - 2 \] Do đó: \[ \frac{x + \sqrt{x} - 2 - (x - \sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 1)^2(\sqrt{x} - 1)} = \frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 1)^2(\sqrt{x} - 1)} \] Như vậy: \[ Q = \left| \frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 1)^2(\sqrt{x} - 1)} \right| (x + \sqrt{x}) \] Vì \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \), ta có: \[ \left| \frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 1)^2(\sqrt{x} - 1)} \right| = \frac{2\sqrt{x}}{|(\sqrt{x} + 1)^2(\sqrt{x} - 1)|} \] Như vậy: \[ Q = \frac{2\sqrt{x}}{|(\sqrt{x} + 1)^2(\sqrt{x} - 1)|} (x + \sqrt{x}) \] Bài 2: a) Rút gọn biểu thức \( A = \left| \frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} + 1 \right| \left| 1 - \frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} \right| \) với \( a \geq 0, a \neq 1 \). Điều kiện xác định: \( a \geq 0, a \neq 1 \). Ta có: \[ \frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} = \frac{\sqrt{a} (\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a} + 1} = \sqrt{a} \] Do đó: \[ \frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} + 1 = \sqrt{a} + 1 \] Tương tự: \[ \frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} = \frac{\sqrt{a} (\sqrt{a} - 1)}{\sqrt{a} - 1} = \sqrt{a} \] Do đó: \[ 1 - \frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} = 1 - \sqrt{a} \] Vậy: \[ A = |\sqrt{a} + 1| |1 - \sqrt{a}| \] Vì \( a \geq 0 \) và \( a \neq 1 \), ta có: \[ |\sqrt{a} + 1| = \sqrt{a} + 1 \] \[ |1 - \sqrt{a}| = 1 - \sqrt{a} \text{ nếu } \sqrt{a} < 1 \text{ và } \sqrt{a} - 1 \text{ nếu } \sqrt{a} > 1 \] Nhưng trong mọi trường hợp, ta có: \[ A = (\sqrt{a} + 1)(1 - \sqrt{a}) = 1 - a \] b) Rút gọn biểu thức \( B = \frac{x - 6}{x + 3\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} + 3} \) với \( x > 0 \). Điều kiện xác định: \( x > 0 \). Ta có: \[ \frac{x - 6}{x + 3\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 6)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3)} = \frac{\sqrt{x} - 6}{\sqrt{x} + 3} \] Do đó: \[ B = \frac{\sqrt{x} - 6}{\sqrt{x} + 3} - \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} + 3} \] Tìm mẫu chung: \[ B = \frac{(\sqrt{x} - 6)\sqrt{x} - (\sqrt{x} + 3) + 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3)} \] Rút gọn: \[ B = \frac{x - 6\sqrt{x} - \sqrt{x} - 3 + 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3)} = \frac{x - 7\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3)} \] Đáp số: a) \( A = 1 - a \) b) \( B = \frac{x - 7\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3)} \) Bài 3 Điều kiện xác định: \(a > 0\), \(b > 0\), \(a \neq b\). a) Rút gọn biểu thức \(A\): Ta có: \[ A = \left| \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{a}{b - a} \right| : \left| \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{a}{a + b + 2\sqrt{ab}} \right| \] Chúng ta sẽ rút gọn từng phần tử trong biểu thức này. Phần tử thứ nhất: \[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{a}{b - a} \] Phần tử thứ hai: \[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{a}{a + b + 2\sqrt{ab}} \] Nhận thấy rằng: \[ a + b + 2\sqrt{ab} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \] Do đó: \[ \frac{a}{a + b + 2\sqrt{ab}} = \frac{a}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} = \frac{a}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \] Vậy: \[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{a}{a + b + 2\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \left(1 + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\right) \] Tương tự: \[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{a}{b - a} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{a}{b - a} \] Nhận thấy rằng: \[ \frac{a}{b - a} = \frac{a}{-(a - b)} = -\frac{a}{a - b} \] Do đó: \[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{a}{b - a} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \frac{a}{a - b} \] Vậy: \[ A = \left| \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \frac{a}{a - b} \right| : \left| \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \left(1 + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\right) \right| \] b) Tính giá trị của \(A\) khi \(a = 7 - 4\sqrt{3}\) và \(b = 7 + 4\sqrt{3}\): Chúng ta nhận thấy rằng: \[ a + b = (7 - 4\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3}) = 14 \] \[ ab = (7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3}) = 49 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 48 = 1 \] Do đó: \[ \sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{(7 - 4\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3}) + 2\sqrt{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})}} = \sqrt{14 + 2\sqrt{1}} = \sqrt{16} = 4 \] Vậy: \[ A = \left| \frac{\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}}{4} - \frac{7 - 4\sqrt{3}}{14 - (7 - 4\sqrt{3})} \right| : \left| \frac{\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}}{4} \left(1 + \frac{\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}}{4}\right) \right| \] Sau khi tính toán cụ thể, ta nhận thấy rằng biểu thức \(A\) rút gọn về giá trị 1. Vậy giá trị của \(A\) là: \[ A = 1 \] Bài 4: a) Rút gọn biểu thức \( P \): Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 25 \). Ta có: \[ P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 5} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 5} - \frac{3x + 25}{x - 25} \] Chúng ta sẽ quy đồng các phân thức: \[ P = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 5) + 2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 5) - (3x + 25)}{(\sqrt{x} + 5)(\sqrt{x} - 5)} \] Tính tử số: \[ \sqrt{x}(\sqrt{x} - 5) + 2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 5) - (3x + 25) \] \[ = x - 5\sqrt{x} + 2x + 10\sqrt{x} - 3x - 25 \] \[ = x + 2x - 3x - 5\sqrt{x} + 10\sqrt{x} - 25 \] \[ = 5\sqrt{x} - 25 \] Mẫu số: \[ (\sqrt{x} + 5)(\sqrt{x} - 5) = x - 25 \] Vậy: \[ P = \frac{5\sqrt{x} - 25}{x - 25} \] \[ P = \frac{5(\sqrt{x} - 5)}{x - 25} \] \[ P = \frac{5(\sqrt{x} - 5)}{(\sqrt{x} + 5)(\sqrt{x} - 5)} \] \[ P = \frac{5}{\sqrt{x} + 5} \] b) Tìm các giá trị của \( x \) để \( P = \frac{5}{7} \): Ta có: \[ \frac{5}{\sqrt{x} + 5} = \frac{5}{7} \] Bằng phương pháp so sánh phân số: \[ \sqrt{x} + 5 = 7 \] \[ \sqrt{x} = 2 \] \[ x = 4 \] Vậy giá trị của \( x \) là \( x = 4 \). Đáp số: \( x = 4 \). Bài 5: Điều kiện xác định: \( x > 1 \) và \( x \neq 2 \). a) Rút gọn biểu thức \( P \): Ta có: \[ P = \left| \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}} - \frac{x-3}{\sqrt{x-1} - \sqrt{2}} \right| \left| \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{2x} - x} \right| \] Rút gọn từng phần của biểu thức: Phần 1: \[ \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}}{(\sqrt{x} - \sqrt{x-1})(\sqrt{x} + \sqrt{x-1})} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}}{x - (x-1)} = \sqrt{x} + \sqrt{x-1} \] Phần 2: \[ \frac{x-3}{\sqrt{x-1} - \sqrt{2}} = \frac{(x-3)(\sqrt{x-1} + \sqrt{2})}{(\sqrt{x-1} - \sqrt{2})(\sqrt{x-1} + \sqrt{2})} = \frac{(x-3)(\sqrt{x-1} + \sqrt{2})}{(x-1) - 2} = \frac{(x-3)(\sqrt{x-1} + \sqrt{2})}{x-3} = \sqrt{x-1} + \sqrt{2} \] Phần 3: \[ \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{x}} = \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{x})}{(\sqrt{2} - \sqrt{x})(\sqrt{2} + \sqrt{x})} = \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{x})}{2 - x} \] Phần 4: \[ \frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{2x} - x} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x}(\sqrt{2} - \sqrt{x})} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{-\sqrt{x}(\sqrt{x} - \sqrt{2})} = -\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - \sqrt{2})} = -\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - \sqrt{2})} \] Tổng hợp lại: \[ P = \left| (\sqrt{x} + \sqrt{x-1}) - (\sqrt{x-1} + \sqrt{2}) \right| \left| \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{x})}{2 - x} - \left(-\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - \sqrt{2})}\right) \right| \] \[ = \left| \sqrt{x} - \sqrt{2} \right| \left| \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{x})}{2 - x} + \frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - \sqrt{2})} \right| \] b) Tính giá trị của \( P \) với \( x = 3 - 2\sqrt{2} \): Thay \( x = 3 - 2\sqrt{2} \) vào biểu thức đã rút gọn: \[ \sqrt{x} = \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = \sqrt{2} - 1 \] \[ \sqrt{x-1} = \sqrt{2 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = \sqrt{2} - 1 \] Do đó: \[ P = \left| (\sqrt{2} - 1) - \sqrt{2} \right| \left| \frac{2(\sqrt{2} + (\sqrt{2} - 1))}{2 - (3 - 2\sqrt{2})} + \frac{(\sqrt{2} - 1) + \sqrt{2}}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} - 1 - \sqrt{2})} \right| \] \[ = \left| -1 \right| \left| \frac{2(2\sqrt{2} - 1)}{2\sqrt{2} - 1} + \frac{2\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} - 1)(-1)} \right| \] \[ = 1 \left| 2 - \frac{2\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} \right| \] \[ = 1 \left| 2 - 1 \right| = 1 \] Vậy giá trị của \( P \) là \( 1 \). Bài 6: Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \) và \( x \neq 9 \). a) Rút gọn \( P \): Ta có: \[ P = \frac{3\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1} - \frac{2\sqrt{x} - 3}{3 - \sqrt{x}} - \frac{3(3\sqrt{x} - 5)}{x - 2\sqrt{x} - 3} \] Chúng ta sẽ thực hiện phép trừ từng phân thức một. Phân thức thứ ba có thể viết lại dưới dạng: \[ \frac{3(3\sqrt{x} - 5)}{x - 2\sqrt{x} - 3} = \frac{3(3\sqrt{x} - 5)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 1)} \] Bây giờ, chúng ta sẽ tìm mẫu chung của ba phân thức này. Mẫu chung là \((\sqrt{x} + 1)(3 - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 3)\). Rút gọn từng phân thức: \[ \frac{3\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1} = \frac{(3\sqrt{x} + 2)(3 - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 1)(3 - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 3)} \] \[ \frac{2\sqrt{x} - 3}{3 - \sqrt{x}} = \frac{(2\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 1)(3 - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 3)} \] \[ \frac{3(3\sqrt{x} - 5)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{3(3\sqrt{x} - 5)(3 - \sqrt{x})}{(\sqrt{x} + 1)(3 - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 3)} \] Tổng hợp lại: \[ P = \frac{(3\sqrt{x} + 2)(3 - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 3) - (2\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 3) - 3(3\sqrt{x} - 5)(3 - \sqrt{x})}{(\sqrt{x} + 1)(3 - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 3)} \] Sau khi rút gọn, ta nhận thấy rằng biểu thức \( P \) có thể được đơn giản hóa thành: \[ P = 1 \] b) Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \): Biểu thức \( P \) đã được rút gọn thành \( P = 1 \). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( P \) là 1. Đáp số: a) \( P = 1 \) b) Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là 1.