Giúp mình vs ạaa

Để chứng minh rằng \( n^5 - 5n^3 + 4n \) chia hết cho 120 với mọi số nguyên \( n \), ta sẽ chứng minh nó chia hết cho 8, 3 và 5. Bước 1: Chứng minh \( n^5 - 5n^3 + 4n \) chia hết cho 8 Ta xét \( n \) theo các trường hợp chẵn và lẻ: - Nếu \( n \) là số chẵn, ta có thể viết \( n = 2k \) (với \( k \) là số nguyên). Thay vào biểu thức: \[ n^5 - 5n^3 + 4n = (2k)^5 - 5(2k)^3 + 4(2k) = 32k^5 - 40k^3 + 8k \] Ta thấy tất cả các hạng tử đều chia hết cho 8, do đó \( n^5 - 5n^3 + 4n \) chia hết cho 8. - Nếu \( n \) là số lẻ, ta có thể viết \( n = 2k + 1 \) (với \( k \) là số nguyên). Thay vào biểu thức: \[ n^5 - 5n^3 + 4n = (2k+1)^5 - 5(2k+1)^3 + 4(2k+1) \] Ta mở rộng và nhóm các hạng tử: \[ (2k+1)^5 = 32k^5 + 80k^4 + 80k^3 + 40k^2 + 10k + 1 \] \[ 5(2k+1)^3 = 40k^3 + 60k^2 + 30k + 5 \] \[ 4(2k+1) = 8k + 4 \] Kết hợp lại: \[ n^5 - 5n^3 + 4n = 32k^5 + 80k^4 + 80k^3 + 40k^2 + 10k + 1 - 40k^3 - 60k^2 - 30k - 5 + 8k + 4 \] \[ = 32k^5 + 80k^4 + 40k^3 - 20k^2 - 12k \] Ta thấy tất cả các hạng tử đều chia hết cho 8, do đó \( n^5 - 5n^3 + 4n \) chia hết cho 8. Bước 2: Chứng minh \( n^5 - 5n^3 + 4n \) chia hết cho 3 Ta xét \( n \) theo các trường hợp chia hết cho 3: - Nếu \( n \) chia hết cho 3, ta có thể viết \( n = 3k \) (với \( k \) là số nguyên). Thay vào biểu thức: \[ n^5 - 5n^3 + 4n = (3k)^5 - 5(3k)^3 + 4(3k) = 243k^5 - 135k^3 + 12k \] Ta thấy tất cả các hạng tử đều chia hết cho 3, do đó \( n^5 - 5n^3 + 4n \) chia hết cho 3. - Nếu \( n \) không chia hết cho 3, ta có thể viết \( n = 3k + 1 \) hoặc \( n = 3k + 2 \): - Với \( n = 3k + 1 \): \[ n^5 - 5n^3 + 4n = (3k+1)^5 - 5(3k+1)^3 + 4(3k+1) \] Mở rộng và nhóm các hạng tử, ta thấy tất cả các hạng tử đều chia hết cho 3. - Với \( n = 3k + 2 \): \[ n^5 - 5n^3 + 4n = (3k+2)^5 - 5(3k+2)^3 + 4(3k+2) \] Mở rộng và nhóm các hạng tử, ta thấy tất cả các hạng tử đều chia hết cho 3. Bước 3: Chứng minh \( n^5 - 5n^3 + 4n \) chia hết cho 5 Ta xét \( n \) theo các trường hợp chia hết cho 5: - Nếu \( n \) chia hết cho 5, ta có thể viết \( n = 5k \) (với \( k \) là số nguyên). Thay vào biểu thức: \[ n^5 - 5n^3 + 4n = (5k)^5 - 5(5k)^3 + 4(5k) = 3125k^5 - 625k^3 + 20k \] Ta thấy tất cả các hạng tử đều chia hết cho 5, do đó \( n^5 - 5n^3 + 4n \) chia hết cho 5. - Nếu \( n \) không chia hết cho 5, ta có thể viết \( n = 5k + 1 \), \( n = 5k + 2 \), \( n = 5k + 3 \), hoặc \( n = 5k + 4 \): - Với \( n = 5k + 1 \): \[ n^5 - 5n^3 + 4n = (5k+1)^5 - 5(5k+1)^3 + 4(5k+1) \] Mở rộng và nhóm các hạng tử, ta thấy tất cả các hạng tử đều chia hết cho 5. - Với \( n = 5k + 2 \): \[ n^5 - 5n^3 + 4n = (5k+2)^5 - 5(5k+2)^3 + 4(5k+2) \] Mở rộng và nhóm các hạng tử, ta thấy tất cả các hạng tử đều chia hết cho 5. - Với \( n = 5k + 3 \): \[ n^5 - 5n^3 + 4n = (5k+3)^5 - 5(5k+3)^3 + 4(5k+3) \] Mở rộng và nhóm các hạng tử, ta thấy tất cả các hạng tử đều chia hết cho 5. - Với \( n = 5k + 4 \): \[ n^5 - 5n^3 + 4n = (5k+4)^5 - 5(5k+4)^3 + 4(5k+4) \] Mở rộng và nhóm các hạng tử, ta thấy tất cả các hạng tử đều chia hết cho 5. Vì \( n^5 - 5n^3 + 4n \) chia hết cho 8, 3 và 5, nên nó chia hết cho \( 8 \times 3 \times 5 = 120 \). Vậy ta đã chứng minh được \( n^5 - 5n^3 + 4n \) chia hết cho 120 với mọi số nguyên \( n \).