help cíu túi với

Câu I. a) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 4 \): \[ A = \frac{5}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 3)} \] Thay \( x = 4 \): \[ \sqrt{4} = 2 \] \[ A = \frac{5}{2 (2 + 3)} = \frac{5}{2 \times 5} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 4 \) là \( \frac{1}{2} \). b) Chứng minh \( B = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3} \): \[ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{6\sqrt{x}}{x - 9} - \frac{3}{\sqrt{x} + 3} \] Chúng ta sẽ quy đồng các phân thức: \[ B = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} - \frac{6\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} - \frac{3 (\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} \] \[ B = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 3) - 6\sqrt{x} - 3 (\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} \] \[ B = \frac{x + 3\sqrt{x} - 6\sqrt{x} - 3\sqrt{x} + 9}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} \] \[ B = \frac{x - 6\sqrt{x} + 9}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} \] \[ B = \frac{(\sqrt{x} - 3)^2}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} \] \[ B = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3} \] Vậy đã chứng minh được \( B = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3} \). c) Đặt \( P = \frac{B}{A} \). Tìm \( x \) để \( P \leq \sqrt{x} - \frac{16}{5} \): \[ P = \frac{\frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3}}{\frac{5}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 3)}} = \frac{(\sqrt{x} - 3) \sqrt{x} (\sqrt{x} + 3)}{5 (\sqrt{x} + 3)} = \frac{(\sqrt{x} - 3) \sqrt{x}}{5} \] \[ P = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 3)}{5} \] Yêu cầu \( P \leq \sqrt{x} - \frac{16}{5} \): \[ \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 3)}{5} \leq \sqrt{x} - \frac{16}{5} \] Nhân cả hai vế với 5: \[ \sqrt{x} (\sqrt{x} - 3) \leq 5 \sqrt{x} - 16 \] \[ \sqrt{x}^2 - 3 \sqrt{x} \leq 5 \sqrt{x} - 16 \] \[ \sqrt{x}^2 - 8 \sqrt{x} + 16 \leq 0 \] \[ (\sqrt{x} - 4)^2 \leq 0 \] Vì bình phương của một số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng 0, nên: \[ (\sqrt{x} - 4)^2 = 0 \] \[ \sqrt{x} - 4 = 0 \] \[ \sqrt{x} = 4 \] \[ x = 16 \] Vậy \( x = 16 \) để \( P \leq \sqrt{x} - \frac{16}{5} \). Đáp số: \( x = 16 \). Câu II. Gọi giá niêm yết của chiếc áo sơ mi là \( x \) nghìn đồng (điều kiện: \( x > 0 \)). Gọi giá niêm yết của chiếc quần âu là \( y \) nghìn đồng (điều kiện: \( y > 0 \)). Theo đề bài, ta có: \[ x + y = 700 \] Bác Hà mua áo sơ mi và quần âu vào dịp "Tuần lễ người Việt Nam ưu tiên dùng hàng Việt Nam", nên giá bán thực tế của áo sơ mi và quần âu lần lượt là: - Giá bán thực tế của áo sơ mi: \( x - 0.15x = 0.85x \) - Giá bán thực tế của quần âu: \( y - 0.18y = 0.82y \) Tổng số tiền bác Hà phải trả là 583 nghìn đồng, do đó ta có phương trình: \[ 0.85x + 0.82y = 583 \] Ta đã có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y = 700 \\ 0.85x + 0.82y = 583 \end{cases} \] Từ phương trình đầu tiên, ta có: \[ y = 700 - x \] Thay \( y = 700 - x \) vào phương trình thứ hai: \[ 0.85x + 0.82(700 - x) = 583 \] \[ 0.85x + 574 - 0.82x = 583 \] \[ 0.03x + 574 = 583 \] \[ 0.03x = 583 - 574 \] \[ 0.03x = 9 \] \[ x = \frac{9}{0.03} \] \[ x = 300 \] Thay \( x = 300 \) vào \( y = 700 - x \): \[ y = 700 - 300 \] \[ y = 400 \] Vậy giá niêm yết của chiếc áo sơ mi là 300 nghìn đồng và giá niêm yết của chiếc quần âu là 400 nghìn đồng. Câu III. a) Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2(x+y) + 3(x-y) = 4 \\ (x+y) + 2(x-y) = 5 \end{array} \right. \] Gọi \(u = x + y\) và \(v = x - y\). Hệ phương trình trở thành: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2u + 3v = 4 \\ u + 2v = 5 \end{array} \right. \] Nhân phương trình thứ hai với 2 rồi trừ đi phương trình thứ nhất: \[ 2(u + 2v) - (2u + 3v) = 2 \cdot 5 - 4 \] \[ 2u + 4v - 2u - 3v = 10 - 4 \] \[ v = 6 \] Thay \(v = 6\) vào phương trình \(u + 2v = 5\): \[ u + 2 \cdot 6 = 5 \] \[ u + 12 = 5 \] \[ u = -7 \] Bây giờ ta có \(u = -7\) và \(v = 6\). Ta quay lại để tìm \(x\) và \(y\): \[ x + y = -7 \] \[ x - y = 6 \] Cộng hai phương trình này lại: \[ (x + y) + (x - y) = -7 + 6 \] \[ 2x = -1 \] \[ x = -\frac{1}{2} \] Thay \(x = -\frac{1}{2}\) vào \(x + y = -7\): \[ -\frac{1}{2} + y = -7 \] \[ y = -7 + \frac{1}{2} \] \[ y = -\frac{14}{2} + \frac{1}{2} \] \[ y = -\frac{13}{2} \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ (x, y) = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{13}{2}\right) \] b) Giải phương trình: \[ x^2(x-3) + 4(3-x) = 0 \] Rút nhân tử chung: \[ x^2(x-3) - 4(x-3) = 0 \] \[ (x-3)(x^2 - 4) = 0 \] \[ (x-3)(x-2)(x+2) = 0 \] Vậy các nghiệm của phương trình là: \[ x = 3, x = 2, x = -2 \] c) Giải bất phương trình: \[ 4x(3x-1) \geq 3(2x+5)^2 - 11 \] Mở ngoặc và thu gọn: \[ 4x(3x-1) \geq 3(4x^2 + 20x + 25) - 11 \] \[ 12x^2 - 4x \geq 12x^2 + 60x + 75 - 11 \] \[ 12x^2 - 4x \geq 12x^2 + 60x + 64 \] Trừ \(12x^2\) từ cả hai vế: \[ -4x \geq 60x + 64 \] Di chuyển các hạng tử liên quan đến \(x\) sang một vế: \[ -4x - 60x \geq 64 \] \[ -64x \geq 64 \] Chia cả hai vế cho \(-64\) (nhớ đổi dấu bất đẳng thức): \[ x \leq -1 \] Vậy nghiệm của bất phương trình là: \[ x \leq -1 \] Câu IV. 1) Ta có: $\sin \alpha = \frac{0,5}{6} = \frac{1}{12} \approx 0,0833$ $\alpha \approx 4,76^{\circ}$ Vậy đường lên dốc tạo với phương nằm ngang một góc 5 độ. 2) a) Ta có: $\widehat{ABO}=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Mà $\widehat{AHB}=90^{\circ}$ (vì $OH\bot CD)$ Nên bốn điểm A, B, O, H cùng thuộc một đường tròn. b) Ta có: $\widehat{OHC}=\widehat{ABC}=90^{\circ}$ $\widehat{HCO}=\widehat{BCA}$ (cùng bù với $\widehat{ACD})$ Nên $\Delta OHC$ đồng dạng với $\Delta ABC$ (g-g) $\Rightarrow \frac{CH}{CA}=\frac{OH}{BC}$ Mà $OH=\frac{1}{2}BC=R$ Nên $\frac{CH}{CA}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow CH.CA=2R^2$ c) Ta có: $\widehat{HBO}=\widehat{HCO}$ (cùng chắn cung HO) Mà $\widehat{HCO}=\widehat{CDB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung HB) Nên $\widehat{HBO}=\widehat{CDB}$ $\Rightarrow DB\parallel OH$ Mà $AK\bot BH$ Nên $AK\bot DB$ Mà $AK\bot BH$ Nên AK là đường cao chung của $\Delta ABD$ và $\Delta AHB$ $\Rightarrow AK$ là đường cao của $\Delta AHB$ Mà $AK$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta AHB$ (chứng minh ở phần a) Nên AK là đường kính của đường tròn ngoại tiếp $\Delta AHB$ $\Rightarrow \widehat{AIH}=90^{\circ}$ Mà $\widehat{ACH}=90^{\circ}$ Nên C, N, I thẳng hàng (hai góc ở cùng phía trong bằng 90 độ).