Giúp mình với!

f) $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ Đầu tiên, ta quy đồng mẫu số của hai phân số: \[ \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2 + (\sqrt{7}-\sqrt{5})^2}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} \] Ta tính tử số: \[ (\sqrt{7}+\sqrt{5})^2 = 7 + 2\sqrt{35} + 5 = 12 + 2\sqrt{35} \] \[ (\sqrt{7}-\sqrt{5})^2 = 7 - 2\sqrt{35} + 5 = 12 - 2\sqrt{35} \] \[ (\sqrt{7}+\sqrt{5})^2 + (\sqrt{7}-\sqrt{5})^2 = (12 + 2\sqrt{35}) + (12 - 2\sqrt{35}) = 24 \] Ta tính mẫu số: \[ (\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5}) = 7 - 5 = 2 \] Vậy: \[ \frac{24}{2} = 12 \] g) $(a\sqrt{\frac{3}{a}} + 3\sqrt{\frac{a}{3}} + \sqrt{12a^3}) : \sqrt{3a}$ với $a > 0$ Đầu tiên, ta rút gọn các căn thức: \[ a\sqrt{\frac{3}{a}} = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a}} = \sqrt{3a} \] \[ 3\sqrt{\frac{a}{3}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3a} \] \[ \sqrt{12a^3} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot a^2 \cdot a} = 2a\sqrt{3a} \] Vậy: \[ (a\sqrt{\frac{3}{a}} + 3\sqrt{\frac{a}{3}} + \sqrt{12a^3}) = \sqrt{3a} + \sqrt{3a} + 2a\sqrt{3a} = 2\sqrt{3a} + 2a\sqrt{3a} \] Chia cho $\sqrt{3a}$: \[ (2\sqrt{3a} + 2a\sqrt{3a}) : \sqrt{3a} = 2 + 2a \] h) $\frac{1-a}{1+\sqrt{a}} + \frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}$ với $a \geq 0, a \neq 1$ Đầu tiên, ta quy đồng mẫu số của hai phân số: \[ \frac{(1-a)(1-\sqrt{a}) + (1-a\sqrt{a})(1+\sqrt{a})}{(1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a})} \] Ta tính tử số: \[ (1-a)(1-\sqrt{a}) = 1 - \sqrt{a} - a + a\sqrt{a} \] \[ (1-a\sqrt{a})(1+\sqrt{a}) = 1 + \sqrt{a} - a\sqrt{a} - a \] \[ (1 - \sqrt{a} - a + a\sqrt{a}) + (1 + \sqrt{a} - a\sqrt{a} - a) = 2 - 2a \] Ta tính mẫu số: \[ (1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a}) = 1 - a \] Vậy: \[ \frac{2 - 2a}{1 - a} = 2 \] i) $2(\sqrt{x} + \sqrt{y}) - \frac{x-y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$ (biết $x > 0, y > 0$) Đầu tiên, ta quy đồng mẫu số của hai phân số: \[ 2(\sqrt{x} + \sqrt{y}) - \frac{x-y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{2(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 - (x-y)}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \] Ta tính tử số: \[ 2(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = 2(x + 2\sqrt{xy} + y) = 2x + 4\sqrt{xy} + 2y \] \[ 2x + 4\sqrt{xy} + 2y - (x - y) = x + 4\sqrt{xy} + 3y \] Vậy: \[ \frac{x + 4\sqrt{xy} + 3y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \] Bài 5: Để tính giá trị của biểu thức \( M = \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{2}}} + \frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}} + ... + \frac{1}{\sqrt{99 + \sqrt{100}}} \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi đại lượng để đơn giản hóa từng phân số. Đầu tiên, ta xét một phân số tổng quát trong biểu thức: \[ \frac{1}{\sqrt{n + \sqrt{n+1}}} \] Ta nhân cả tử và mẫu của phân số này với biểu thức liên hợp của mẫu: \[ \frac{1}{\sqrt{n + \sqrt{n+1}}} = \frac{\sqrt{n + \sqrt{n+1}} - \sqrt{n}}{\left( \sqrt{n + \sqrt{n+1}} \right)^2 - \left( \sqrt{n} \right)^2} \] Tính toán mẫu số: \[ \left( \sqrt{n + \sqrt{n+1}} \right)^2 - \left( \sqrt{n} \right)^2 = n + \sqrt{n+1} - n = \sqrt{n+1} \] Do đó, ta có: \[ \frac{1}{\sqrt{n + \sqrt{n+1}}} = \frac{\sqrt{n + \sqrt{n+1}} - \sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} \] Như vậy, mỗi phân số trong biểu thức \( M \) có thể viết lại dưới dạng: \[ \frac{1}{\sqrt{n + \sqrt{n+1}}} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \] Áp dụng công thức này vào biểu thức \( M \): \[ M = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + ... + (\sqrt{100} - \sqrt{99}) \] Nhận thấy rằng đây là một dãy tổng có các số hạng liên tiếp triệt tiêu lẫn nhau: \[ M = \sqrt{100} - \sqrt{1} \] Cuối cùng, ta tính giá trị của biểu thức: \[ M = 10 - 1 = 9 \] Vậy giá trị của biểu thức \( M \) là: \[ \boxed{9} \] Bài 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Rút gọn biểu thức \( A \) Biểu thức \( A \) được cho là: \[ A = \frac{x}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2x - \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}} \] Đầu tiên, ta cần rút gọn từng phân thức riêng lẻ. Rút gọn phân thức đầu tiên: \[ \frac{x}{\sqrt{x} - 1} \] Ta nhân tử số và mẫu số với \((\sqrt{x} + 1)\): \[ \frac{x}{\sqrt{x} - 1} = \frac{x (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{x (\sqrt{x} + 1)}{x - 1} \] Rút gọn phân thức thứ hai: \[ \frac{2x - \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}} \] Ta nhận thấy rằng \( x - \sqrt{x} = \sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) \), do đó: \[ \frac{2x - \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}} = \frac{2x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} \] Chia cả tử số và mẫu số cho \(\sqrt{x}\): \[ \frac{2x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} = \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 1} \] Bây giờ, ta có thể viết lại biểu thức \( A \) dưới dạng: \[ A = \frac{x (\sqrt{x} + 1)}{x - 1} - \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 1} \] Tìm mẫu chung và rút gọn: Mẫu chung của hai phân thức là \((x - 1)\): \[ A = \frac{x (\sqrt{x} + 1) - (2\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{x - 1} \] Phân tích và rút gọn tử số: \[ x (\sqrt{x} + 1) - (2\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) = x \sqrt{x} + x - (2x + 2\sqrt{x} - \sqrt{x} - 1) \] \[ = x \sqrt{x} + x - 2x - 2\sqrt{x} + \sqrt{x} + 1 \] \[ = x \sqrt{x} + x - 2x - \sqrt{x} + 1 \] \[ = x \sqrt{x} - x - \sqrt{x} + 1 \] Do đó: \[ A = \frac{x \sqrt{x} - x - \sqrt{x} + 1}{x - 1} \] b) Tính giá trị của biểu thức \( A \) tại \( x = 3 + 2\sqrt{2} \) Thay \( x = 3 + 2\sqrt{2} \) vào biểu thức đã rút gọn: \[ A = \frac{(3 + 2\sqrt{2}) \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} - (3 + 2\sqrt{2}) - \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} + 1}{(3 + 2\sqrt{2}) - 1} \] Tính giá trị cụ thể: \[ \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = \sqrt{2} + 1 \] Do đó: \[ A = \frac{(3 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1) - (3 + 2\sqrt{2}) - (\sqrt{2} + 1) + 1}{2 + 2\sqrt{2}} \] Rút gọn tiếp: \[ A = \frac{(3\sqrt{2} + 3 + 4 + 2\sqrt{2}) - (3 + 2\sqrt{2}) - (\sqrt{2} + 1) + 1}{2 + 2\sqrt{2}} \] \[ = \frac{3\sqrt{2} + 3 + 4 + 2\sqrt{2} - 3 - 2\sqrt{2} - \sqrt{2} - 1 + 1}{2 + 2\sqrt{2}} \] \[ = \frac{3\sqrt{2} + 4 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 + 2\sqrt{2}} \] \[ = \frac{3\sqrt{2} + 4 - \sqrt{2}}{2 + 2\sqrt{2}} \] \[ = \frac{2\sqrt{2} + 4}{2 + 2\sqrt{2}} \] \[ = \frac{2(\sqrt{2} + 2)}{2(1 + \sqrt{2})} \] \[ = \frac{\sqrt{2} + 2}{1 + \sqrt{2}} \] Nhân tử số và mẫu số với \((1 - \sqrt{2})\): \[ = \frac{(\sqrt{2} + 2)(1 - \sqrt{2})}{(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})} \] \[ = \frac{\sqrt{2} - 2 + 2 - 2\sqrt{2}}{1 - 2} \] \[ = \frac{-\sqrt{2}}{-1} \] \[ = \sqrt{2} \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) tại \( x = 3 + 2\sqrt{2} \) là \( \sqrt{2} \). Bài 7: Điều kiện xác định: \( a \geq 0; a \neq 4 \) a) Rút gọn biểu thức \( P \): Ta có: \[ P = \frac{a + 4\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a} + 2} + \frac{4 - a}{2 - \sqrt{a}} \] Nhận thấy rằng \( a + 4\sqrt{a} + 4 = (\sqrt{a} + 2)^2 \), ta có thể viết lại biểu thức như sau: \[ P = \frac{(\sqrt{a} + 2)^2}{\sqrt{a} + 2} + \frac{4 - a}{2 - \sqrt{a}} \] Rút gọn phân thức đầu tiên: \[ P = \sqrt{a} + 2 + \frac{4 - a}{2 - \sqrt{a}} \] Nhận thấy rằng \( 4 - a = -(a - 4) = -( \sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2) \), ta có thể viết lại phân thức thứ hai: \[ P = \sqrt{a} + 2 + \frac{-(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2)}{2 - \sqrt{a}} \] Phân tích và rút gọn phân thức thứ hai: \[ P = \sqrt{a} + 2 + \frac{-(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2)}{-(\sqrt{a} - 2)} \] \[ P = \sqrt{a} + 2 + (\sqrt{a} + 2) \] \[ P = \sqrt{a} + 2 + \sqrt{a} + 2 \] \[ P = 2\sqrt{a} + 4 \] Vậy biểu thức \( P \) đã được rút gọn thành: \[ P = 2\sqrt{a} + 4 \] b) Tìm giá trị của \( a \) sao cho \( P = a + 1 \): Thay biểu thức \( P \) vào phương trình: \[ 2\sqrt{a} + 4 = a + 1 \] Di chuyển các hạng tử để nhóm các biến về một vế: \[ 2\sqrt{a} + 4 - a - 1 = 0 \] \[ 2\sqrt{a} - a + 3 = 0 \] Đặt \( t = \sqrt{a} \), ta có: \[ 2t - t^2 + 3 = 0 \] \[ t^2 - 2t - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \] \[ t = \frac{2 \pm 4}{2} \] \[ t = 3 \text{ hoặc } t = -1 \] Vì \( t = \sqrt{a} \geq 0 \), ta loại \( t = -1 \): \[ t = 3 \] Do đó: \[ \sqrt{a} = 3 \] \[ a = 9 \] Vậy giá trị của \( a \) là: \[ a = 9 \] Bài 8: Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \) và \( x \neq 1 \). Bước 1: Rút gọn biểu thức \( A \). Ta có: \[ A = \frac{x - 16}{x + \sqrt{x} + 1} : \frac{\sqrt{x} + 4}{x \sqrt{x} - 1} \] Chuyển phép chia thành phép nhân: \[ A = \frac{x - 16}{x + \sqrt{x} + 1} \times \frac{x \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 4} \] Nhận thấy rằng \( x - 16 \) có thể viết lại dưới dạng \( (\sqrt{x})^2 - 4^2 \): \[ x - 16 = (\sqrt{x} - 4)(\sqrt{x} + 4) \] Do đó: \[ A = \frac{(\sqrt{x} - 4)(\sqrt{x} + 4)}{x + \sqrt{x} + 1} \times \frac{x \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 4} \] Chuẩn bị để giản ước: \[ A = \frac{(\sqrt{x} - 4)(\sqrt{x} + 4)}{x + \sqrt{x} + 1} \times \frac{(x \sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 4)} \] Giản ước \( \sqrt{x} + 4 \): \[ A = \frac{(\sqrt{x} - 4)(x \sqrt{x} - 1)}{x + \sqrt{x} + 1} \] Bước 2: Thay \( x = 0,64 \) vào biểu thức đã rút gọn. Tính \( \sqrt{x} \): \[ \sqrt{0,64} = 0,8 \] Thay vào biểu thức: \[ A = \frac{(0,8 - 4)((0,64)(0,8) - 1)}{0,64 + 0,8 + 1} \] \[ A = \frac{(0,8 - 4)(0,512 - 1)}{0,64 + 0,8 + 1} \] \[ A = \frac{(0,8 - 4)(-0,488)}{2,44} \] \[ A = \frac{(-3,2)(-0,488)}{2,44} \] \[ A = \frac{1,5616}{2,44} \] \[ A = 0,64 \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) tại \( x = 0,64 \) là \( 0,64 \). Bài 9: a) Điều kiện xác định của P: \[ \sqrt{x} - 2 \neq 0 \quad \text{và} \quad \sqrt{x} + 2 \neq 0 \quad \text{và} \quad 4 - x \neq 0 \] \[ \sqrt{x} \neq 2 \quad \text{và} \quad \sqrt{x} \neq -2 \quad \text{(luôn đúng)} \quad \text{và} \quad x \neq 4 \] \[ x \neq 4 \quad \text{và} \quad x \neq 4 \] b) Rút gọn P: \[ P = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{2 + 5\sqrt{x}}{4 - x} \] Chúng ta sẽ quy đồng mẫu số chung: \[ P = \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 2) + 2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2) + (2 + 5\sqrt{x})(-\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(4 - x)} \] \[ = \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 2) + 2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2) + (2 + 5\sqrt{x})(-\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(4 - x)} \] \[ = \frac{x + 2\sqrt{x} + \sqrt{x} + 2 + 2x - 4\sqrt{x} - 2\sqrt{x} - 4 - 5x - 10\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(4 - x)} \] \[ = \frac{-2x - 10\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(4 - x)} \] \[ = \frac{-2(x + 5\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(4 - x)} \] c) Tìm x để \(P = 2\): \[ \frac{-2(x + 5\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(4 - x)} = 2 \] \[ -2(x + 5\sqrt{x} - 1) = 2(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(4 - x) \] \[ -2(x + 5\sqrt{x} - 1) = 2(4 - x)(4 - x) \] \[ -2(x + 5\sqrt{x} - 1) = 2(16 - 8x + x^2) \] \[ -2(x + 5\sqrt{x} - 1) = 32 - 16x + 2x^2 \] \[ -2x - 10\sqrt{x} + 2 = 32 - 16x + 2x^2 \] \[ 2x^2 - 14x + 10\sqrt{x} + 30 = 0 \] d) Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên: \[ P = \frac{-2(x + 5\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(4 - x)} \] Để P có giá trị nguyên, tử số phải chia hết cho mẫu số. Chúng ta thử các giá trị nguyên của x: \[ x = 1 \quad \text{thì} \quad P = \frac{-2(1 + 5 - 1)}{(1 - 2)(1 + 2)(4 - 1)} = \frac{-2 \cdot 5}{(-1) \cdot 3 \cdot 3} = \frac{-10}{-9} = \frac{10}{9} \quad \text{(không phải số nguyên)} \] \[ x = 9 \quad \text{thì} \quad P = \frac{-2(9 + 15 - 1)}{(3 - 2)(3 + 2)(4 - 9)} = \frac{-2 \cdot 23}{1 \cdot 5 \cdot (-5)} = \frac{-46}{-25} = \frac{46}{25} \quad \text{(không phải số nguyên)} \] Vậy không có giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên. Bài 10: Điều kiện xác định: \( a > 0, a \neq 1 \). a) Rút gọn biểu thức \( P \): \[ P = \left( \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} - \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} + \frac{4 + 4a}{1 - a^2} \right) \left( \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} \right) \] Chúng ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức \( P \): Phần 1: Rút gọn \( \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} - \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} \) \[ \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} - \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} = \frac{(\sqrt{a} + 1)^2 - (\sqrt{a} - 1)^2}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)} \] \[ = \frac{(a + 2\sqrt{a} + 1) - (a - 2\sqrt{a} + 1)}{a - 1} \] \[ = \frac{4\sqrt{a}}{a - 1} \] Phần 2: Rút gọn \( \frac{4 + 4a}{1 - a^2} \) \[ \frac{4 + 4a}{1 - a^2} = \frac{4(1 + a)}{(1 - a)(1 + a)} = \frac{4}{1 - a} \] Phần 3: Rút gọn \( \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} \) \[ \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{a - 1}{\sqrt{a}} \] Bây giờ, chúng ta kết hợp tất cả các phần lại: \[ P = \left( \frac{4\sqrt{a}}{a - 1} + \frac{4}{1 - a} \right) \left( \frac{a - 1}{\sqrt{a}} \right) \] \[ = \left( \frac{4\sqrt{a}}{a - 1} - \frac{4}{a - 1} \right) \left( \frac{a - 1}{\sqrt{a}} \right) \] \[ = \left( \frac{4(\sqrt{a} - 1)}{a - 1} \right) \left( \frac{a - 1}{\sqrt{a}} \right) \] \[ = \frac{4(\sqrt{a} - 1)}{\sqrt{a}} \] \[ = 4 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{a}} \right) \] b) Tìm giá trị của \( a \) để \( P = 2 \): \[ 4 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{a}} \right) = 2 \] \[ 1 - \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{2} \] \[ \sqrt{a} = 2 \] \[ a = 4 \] Đáp số: a) \( P = 4 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{a}} \right) \) b) \( a = 4 \) Bài 11: Để tính góc tạo bởi thang và tường, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác. Bước 1: Xác định các thông số đã biết: - Chiều dài của thang (cạnh huyền): 10 m - Khoảng cách từ chân thang đến tường (cạnh kề): 6,5 m Bước 2: Áp dụng công thức tính tỉ số lượng giác: - Ta có: cos(α) = cạnh kề / cạnh huyền - Thay các giá trị đã biết vào công thức: cos(α) = 6,5 / 10 = 0,65 Bước 3: Tìm góc α: - Sử dụng bảng lượng giác hoặc máy tính để tìm góc α sao cho cos(α) = 0,65 - Kết quả: α ≈ 49° Vậy góc tạo bởi thang và tường là 49° (làm tròn đến hàng đơn vị của độ). Bài 12: Đầu tiên, ta cần tính quãng đường máy bay đã bay trong 5 phút. Vì 5 phút bằng $\frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ giờ, nên quãng đường máy bay đã bay là: \[ 450 \times \frac{1}{12} = 37,5 \text{ km} \] Tiếp theo, ta cần tìm khoảng cách theo phương thẳng đứng từ mặt đất đến máy bay. Ta biết rằng đường bay tạo với phương nằm ngang một góc $30^0$. Do đó, ta có thể sử dụng tỉ số lượng giác của góc $30^0$ để tính khoảng cách này. Trong tam giác vuông, nếu góc giữa đường bay và phương nằm ngang là $30^0$, thì chiều cao (khoảng cách theo phương thẳng đứng) sẽ là: \[ \sin(30^0) = \frac{\text{khoảng cách theo phương thẳng đứng}}{\text{quãng đường máy bay đã bay}} \] Biết rằng $\sin(30^0) = \frac{1}{2}$, ta có: \[ \frac{1}{2} = \frac{\text{khoảng cách theo phương thẳng đứng}}{37,5} \] Từ đó, ta tính được khoảng cách theo phương thẳng đứng: \[ \text{khoảng cách theo phương thẳng đứng} = 37,5 \times \frac{1}{2} = 18,75 \text{ km} \] Vậy sau 5 phút kể từ khi cất cánh, máy bay cách mặt đất 18,75 km theo phương thẳng đứng. Bài 13: a) Ta có $\stackrel\frown{AC}=\stackrel\frown{DC}$ (cùng chắn cung nhỏ AB) $\Rightarrow AC=DC$ (hai dây cung bằng nhau chắn hai cung bằng nhau) Mà OA = OD (cùng bán kính) $\Rightarrow \Delta OAD$ cân tại O $\Rightarrow \widehat{OAD}=\widehat{ODA}$ Mặt khác $\widehat{OAD}+\widehat{CAD}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù) $\Rightarrow \widehat{ODA}+\widehat{CAD}=180^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{CAD}=90^{\circ}$ (tổng hai góc bằng 180^{\circ}) $\Rightarrow AC\perp CD$ b) Ta có $\widehat{BAC}=\widehat{BDC}$ (cùng chắn cung BC) $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$ (cùng chắn cung AC) c) Ta có $\widehat{BAC}=\widehat{BDC}$ (cùng chắn cung BC) $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$ (cùng chắn cung AC) $\Rightarrow \Delta ABC\sim \Delta ADC$ (g-g) $\Rightarrow \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AH}$ (tỉ số đồng dạng) $\Rightarrow AB\times AC=AD\times AH$ Bài 14: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Chứng minh rằng góc ACB có số đo bằng $90^\circ$ - Vì AB là đường kính của đường tròn (O;R), nên tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn và có đỉnh C nằm trên đường tròn. - Theo tính chất của tam giác nội tiếp, góc ACB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, do đó góc ACB có số đo bằng $90^\circ$. Bước 2: Tính độ dài của BC theo R - Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại C, ta có: \[ BC = R \] Bước 3: Chứng minh rằng OI vuông góc với AC - I là trung điểm của dây AC, nên OI là đường trung trực của dây AC. - Do đó, OI vuông góc với AC. Bước 4: Chứng minh rằng OI song song với BC - Vì OI vuông góc với AC và tam giác ABC là tam giác vuông tại C, nên OI song song với BC. Bước 5: Chứng minh rằng OI = $\frac{1}{2}BC$ - Vì OI song song với BC và I là trung điểm của AC, nên OI là đường trung bình của tam giác ABC. - Do đó, OI = $\frac{1}{2}BC$. Kết luận - Ta đã chứng minh được rằng góc ACB có số đo bằng $90^\circ$, từ đó suy ra độ dài của BC là R. - OI song song với BC và OI = $\frac{1}{2}BC$. Đáp số: - Độ dài của BC là R. - OI = $\frac{1}{2}BC$.