Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1, 3, - 1) B(3; - 1; 5) C(0; 5; 0) Điểm M thuộc tia đối của tia BA sao cho diện tích tam giác MAC ba lần diện tích tam giác MBC. Tính độ dài đoạn thẳng CM

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ BA và BM: - Vectơ $\overrightarrow{BA} = A - B = (-2, 4, -6)$ - Vì M thuộc tia đối của tia BA, ta có $\overrightarrow{BM} = k \cdot \overrightarrow{BA}$ với $k < 0$. 2. Diện tích tam giác MAC và MBC: - Diện tích tam giác MAC: $S_{MAC} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{MA} \times \overrightarrow{MC}|$ - Diện tích tam giác MBC: $S_{MBC} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{MB} \times \overrightarrow{MC}|$ 3. Tỉ lệ diện tích: - Theo đề bài, $S_{MAC} = 3 \cdot S_{MBC}$. Do đó: \[ \frac{1}{2} |\overrightarrow{MA} \times \overrightarrow{MC}| = 3 \cdot \frac{1}{2} |\overrightarrow{MB} \times \overrightarrow{MC}| \] \[ |\overrightarrow{MA} \times \overrightarrow{MC}| = 3 \cdot |\overrightarrow{MB} \times \overrightarrow{MC}| \] 4. Tìm tọa độ điểm M: - Gọi M có tọa độ $(x, y, z)$. Ta có: \[ \overrightarrow{BM} = (x - 3, y + 1, z - 5) \] \[ \overrightarrow{MA} = (1 - x, 3 - y, -1 - z) \] \[ \overrightarrow{MC} = (-x, 5 - y, -z) \] 5. Tính tích vectơ: - $\overrightarrow{MA} \times \overrightarrow{MC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 - x & 3 - y & -1 - z \\ -x & 5 - y & -z \end{vmatrix}$ - $\overrightarrow{MB} \times \overrightarrow{MC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x - 3 & y + 1 & z - 5 \\ -x & 5 - y & -z \end{vmatrix}$ 6. Tìm giá trị của k: - Từ tỉ lệ diện tích, ta có: \[ |(1 - x)(5 - y)z - (-1 - z)(-x)(y + 1)| = 3 \cdot |(x - 3)(5 - y)z - (z - 5)(-x)(y + 1)| \] 7. Giải phương trình để tìm tọa độ M: - Thay $\overrightarrow{BM} = k \cdot \overrightarrow{BA}$ vào và giải phương trình để tìm k. 8. Tính độ dài đoạn thẳng CM: - Sau khi tìm được tọa độ M, tính độ dài đoạn thẳng CM bằng công thức: \[ CM = \sqrt{(x_M - x_C)^2 + (y_M - y_C)^2 + (z_M - z_C)^2} \] Cuối cùng, ta sẽ có kết quả độ dài đoạn thẳng CM.