Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Lấy điểm C bất kỳ trên nửa đường tròn đó. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C cắt Ax, By lần...

a) Chứng minh 4 điểm O, A, M, C cùng thuộc một đường tròn. - Vì Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A nên OA vuông góc với Ax. - OC vuông góc với MC (vì MC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C). - Do đó, góc OAC và góc OMC đều là góc vuông, suy ra 4 điểm O, A, M, C cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh ∆OMN vuông. - Ta có góc OMA = góc OCA (góc nội tiếp cùng chắn cung OC). - Góc ONA = góc OCB (góc nội tiếp cùng chắn cung OB). - Vì góc ACB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), nên góc OMA + góc ONA = 90°. - Suy ra góc MON = 90°, do đó ∆OMN là tam giác vuông tại O. c) Chứng minh OM = OF.ON - Xét tam giác OME và tam giác ONF: - Góc OEM = góc ONF (cùng bằng góc OCA). - Góc OME = góc ONF (cùng bằng 90°). - Do đó, tam giác OME đồng dạng với tam giác ONF (góc-góc). - Từ đó ta có tỉ lệ: $$. - Nhân cả 2 vế với OF.ON ta được: $$. - Nhưng OE = OM (vì E là giao điểm của OM và AC, và tam giác OME đồng dạng với tam giác ONF), nên ta có: $$. d) Chứng minh K là trung điểm của CH. - Xét tam giác AMB và tam giác ANB: - Góc BAM = góc BAN (cùng bằng góc OCA). - Góc AMB = góc ANB (cùng bằng 90°). - Do đó, tam giác AMB đồng dạng với tam giác ANB (góc-góc). - Từ đó ta có tỉ lệ: $$. - Nhưng AM = AN (vì M và N là tiếp điểm của tiếp tuyến Ax và By), nên ta có: BM = BN. - Do đó, tam giác MBN là tam giác cân tại B. - Gọi K là giao điểm của MB và AN, ta có K là trung điểm của MN (vì tam giác MBN cân tại B). - Vì CK là đường cao của tam giác MBN hạ từ đỉnh C, nên CK vuông góc với MN tại K. - Do đó, K là trung điểm của CH (vì CK là đường cao hạ từ đỉnh C của tam giác MBN).