Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Lấy điểm C bất kỳ trên nửa đường tròn đó. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C cắt Ax, By lần...

a/ Vì AM là tiếp tuyến (O)$\displaystyle \Rightarrow \widehat{MAO} =90^{o}$
Vì CM là tiếp tuyến (O)$\displaystyle \Rightarrow \widehat{MCO} =90^{o}$
Xét tứ giác OAMC có: 
$\displaystyle \widehat{MAO} +\widehat{MCO} =90^{o} +90^{o} =180^{o}$
Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nhau 
$\displaystyle \Rightarrow $OAMC nội tiếp đường tròn 
$\displaystyle \Rightarrow $A, M, C, O cùng thuộc 1 đường tròn (dpcm)
b/ Xét $\displaystyle \vartriangle $OMA và $\displaystyle \vartriangle $OMC có: 
OA = OC 
$\displaystyle \widehat{OAM} =\widehat{OCM} =90^{o}$
OM chung 
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle OMA=\vartriangle OMC$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{MOA} =\widehat{MOC} \ $(tính chất 2$\displaystyle \vartriangle $bằng nhau) (1)
Chứng minh tương tự $\displaystyle \vartriangle $CON = $\displaystyle \vartriangle $BON (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{CON} =\widehat{BON}$ (tính chất 2$\displaystyle \vartriangle $bằng nhau) (2)
Mà $\displaystyle \widehat{MOA} +\widehat{MOC} +\widehat{CON} +\widehat{BON} =\widehat{AOB} =180^{o}$ (3)
Từ (1)(2)(3)$\displaystyle \Rightarrow \widehat{MON} =90^{o} \Rightarrow OM\bot ON\Rightarrow \vartriangle $OMN vuông tại O (dpcm)
c/ Theo câu a, $\displaystyle \widehat{MOA} =\widehat{MOC}$.
$\displaystyle \Rightarrow $OM là phân giác $\displaystyle \widehat{COA}$
Mà OA = OC$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle $AOC cân tại O
$\displaystyle \Rightarrow $OM đồng thời là đường cao$\displaystyle \Rightarrow OE\bot AC$
Chứng minh tương tự OF$\displaystyle \bot $BC 
Xét $\displaystyle \vartriangle $MCO vuông tại C đường cao CE
$\displaystyle OC^{2} =OM.OE\ $(hệ thức cạnh và đường cao trong$\displaystyle \vartriangle $vuông) (4) 
Xét $\displaystyle \vartriangle $OCN vuông tại C đường cao CF
$\displaystyle OC^{2} =OF.ON$ (hệ thức cạnh và đường cao trong$\displaystyle \vartriangle $vuông)(5)
Từ(4)(5)$\displaystyle \Rightarrow $OM . OE = ON . OF (dpcm)