Giải giúp em với ạ

Câu 4. Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 9x - 1 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 9x - 1) = 3x^2 - 6x - 9 \] 2. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ y' = 0 \] \[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Phương trình này có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \). Ta sử dụng công thức nghiệm để giải: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \): \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] 3. Xác định tính chất của các điểm cực trị: Ta cần kiểm tra đạo hàm thứ hai \( y'' \) tại các điểm \( x = 3 \) và \( x = -1 \): \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x - 9) = 6x - 6 \] - Tại \( x = 3 \): \[ y''(3) = 6 \cdot 3 - 6 = 18 - 6 = 12 > 0 \] Do đó, \( x = 3 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = -1 \): \[ y''(-1) = 6 \cdot (-1) - 6 = -6 - 6 = -12 < 0 \] Do đó, \( x = -1 \) là điểm cực đại. 4. Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu: \[ y(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 - 1 \] \[ y(3) = 27 - 27 - 27 - 1 \] \[ y(3) = -28 \] Vậy giá trị cực tiểu của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 9x - 1 \) là \(-28\), đạt được khi \( x = 3 \). Đáp số: \(-28\) Câu 5. Trước hết, ta xác định phương trình của đường parabol và đoạn thẳng IA. 1. Phương trình của đường parabol: - Đỉnh của parabol là \( I(2;7) \). - Trục đối xứng của parabol là \( t = 2 \). Phương trình của đường parabol có dạng: \[ v(t) = a(t - 2)^2 + 7 \] Ta biết rằng tại \( t = 0 \), vận tốc \( v(0) = 3 \). Thay vào phương trình trên: \[ 3 = a(0 - 2)^2 + 7 \] \[ 3 = 4a + 7 \] \[ 4a = 3 - 7 \] \[ 4a = -4 \] \[ a = -1 \] Vậy phương trình của đường parabol là: \[ v(t) = -(t - 2)^2 + 7 \] 2. Phương trình của đoạn thẳng IA: - Điểm \( A \) có tọa độ \( (4, 3) \). - Điểm \( I \) có tọa độ \( (2, 7) \). Ta tìm phương trình đoạn thẳng IA: \[ v(t) = at + b \] Thay tọa độ điểm \( I(2, 7) \): \[ 7 = 2a + b \] Thay tọa độ điểm \( A(4, 3) \): \[ 3 = 4a + b \] Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 7 = 2a + b \\ 3 = 4a + b \end{cases} \] Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: \[ 7 - 3 = 2a - 4a \] \[ 4 = -2a \] \[ a = -2 \] Thay \( a = -2 \) vào phương trình \( 7 = 2a + b \): \[ 7 = 2(-2) + b \] \[ 7 = -4 + b \] \[ b = 11 \] Vậy phương trình của đoạn thẳng IA là: \[ v(t) = -2t + 11 \] 3. Tính độ dài quãng đường: - Từ \( t = 0 \) đến \( t = 2 \), ta tính quãng đường theo phương trình parabol: \[ s_1 = \int_{0}^{2} [-(t - 2)^2 + 7] \, dt \] Thực hiện phép tích phân: \[ s_1 = \left[ -\frac{(t-2)^3}{3} + 7t \right]_{0}^{2} \] \[ s_1 = \left( -\frac{(2-2)^3}{3} + 7 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{(0-2)^3}{3} + 7 \cdot 0 \right) \] \[ s_1 = (0 + 14) - \left( -\frac{-8}{3} + 0 \right) \] \[ s_1 = 14 - \left( \frac{8}{3} \right) \] \[ s_1 = 14 - 2.67 \] \[ s_1 = 11.33 \text{ km} \] - Từ \( t = 2 \) đến \( t = 4 \), ta tính quãng đường theo phương trình đoạn thẳng: \[ s_2 = \int_{2}^{4} (-2t + 11) \, dt \] Thực hiện phép tích phân: \[ s_2 = \left[ -t^2 + 11t \right]_{2}^{4} \] \[ s_2 = \left( -(4)^2 + 11 \cdot 4 \right) - \left( -(2)^2 + 11 \cdot 2 \right) \] \[ s_2 = ( -16 + 44 ) - ( -4 + 22 ) \] \[ s_2 = 28 - 18 \] \[ s_2 = 10 \text{ km} \] Tổng quãng đường: \[ s = s_1 + s_2 = 11.33 + 10 = 21.33 \text{ km} \] Làm tròn kết quả đến hàng phần mười: \[ s \approx 21.3 \text{ km} \] Đáp số: 21.3 km Câu 6. Để tìm quãng đường ngắn nhất từ điểm A đến bờ sông rồi đến điểm B, ta có thể sử dụng phương pháp phản xạ điểm B qua bờ sông để tạo ra điểm B'. Khi đó, quãng đường ngắn nhất sẽ là đoạn thẳng từ A đến B' cắt bờ sông tại điểm C. Bước 1: Xác định khoảng cách từ A đến bờ sông là 118 m và từ B đến bờ sông là 487 m. Bước 2: Xác định khoảng cách giữa A và B là 615 m. Bước 3: Xác định khoảng cách từ B' đến bờ sông cũng là 487 m vì B' là điểm phản xạ của B qua bờ sông. Bước 4: Xác định khoảng cách từ A đến B' là: \[ AB' = \sqrt{(AB)^2 + (h_B + h_A)^2} = \sqrt{615^2 + (487 + 118)^2} = \sqrt{615^2 + 605^2} \] Bước 5: Tính toán: \[ AB' = \sqrt{615^2 + 605^2} = \sqrt{378225 + 366025} = \sqrt{744250} \approx 862.64 \text{ m} \] Bước 6: Kết luận: Quãng đường ngắn nhất mà người đó có thể đi gần với số nguyên dương nhất là 863 m. Đáp số: 863 m.