Giupshshsbdbdn

Câu 4. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định khoảng biến thiên của điểm trung bình của học sinh lớp 12B - Điểm trung bình thấp nhất của học sinh lớp 12B là trong khoảng [6; 7) (vì có 6 học sinh trong khoảng này). - Điểm trung bình cao nhất của học sinh lớp 12B là trong khoảng [9; 10) (vì có 12 học sinh trong khoảng này). Khoảng biến thiên của điểm trung bình của học sinh lớp 12B là: \[ 10 - 6 = 4 \] Bước 2: Xác định khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với lớp 12B - Tổng số học sinh lớp 12B là: \( 0 + 6 + 8 + 14 + 12 = 40 \) - Khoảng tử phân vị là khoảng giữa các phân vị, tức là khoảng giữa các nhóm dữ liệu. Phân vị thứ 1 (Q1) nằm ở khoảng [6; 7) vì 10% của 40 là 4 học sinh, và 6 học sinh đầu tiên thuộc khoảng này. Phân vị thứ 3 (Q3) nằm ở khoảng [8; 9) vì 75% của 40 là 30 học sinh, và 14 học sinh cuối cùng thuộc khoảng này. Khoảng tử phân vị là: \[ Q3 - Q1 = 9 - 6 = 3 \] Bước 3: Tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với lớp 12B - Đầu tiên, tính trung bình cộng của điểm trung bình của học sinh lớp 12B: \[ \bar{x} = \frac{(6.5 \times 6) + (7.5 \times 8) + (8.5 \times 14) + (9.5 \times 12)}{40} \] \[ \bar{x} = \frac{(39) + (60) + (119) + (114)}{40} \] \[ \bar{x} = \frac{332}{40} = 8.3 \] - Tiếp theo, tính phương sai: \[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] \[ \sigma^2 = \frac{(6 \times (6.5 - 8.3)^2) + (8 \times (7.5 - 8.3)^2) + (14 \times (8.5 - 8.3)^2) + (12 \times (9.5 - 8.3)^2)}{40} \] \[ \sigma^2 = \frac{(6 \times (-1.8)^2) + (8 \times (-0.8)^2) + (14 \times 0.2^2) + (12 \times 1.2^2)}{40} \] \[ \sigma^2 = \frac{(6 \times 3.24) + (8 \times 0.64) + (14 \times 0.04) + (12 \times 1.44)}{40} \] \[ \sigma^2 = \frac{19.44 + 5.12 + 0.56 + 17.28}{40} \] \[ \sigma^2 = \frac{42.4}{40} = 1.06 \] Bước 4: So sánh độ lệch chuẩn của hai lớp - Độ lệch chuẩn của lớp 12B là: \[ \sigma = \sqrt{1.06} \approx 1.03 \] - Độ lệch chuẩn của lớp 12A cũng cần được tính tương tự, nhưng do không có dữ liệu cụ thể, chúng ta chỉ biết rằng nếu độ lệch chuẩn của lớp 12B là 1.03, thì lớp 12A có thể có độ lệch chuẩn lớn hơn hoặc nhỏ hơn tùy thuộc vào dữ liệu cụ thể. Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng học sinh lớp 12B có điểm trung bình ít phân tán hơn học sinh lớp 12A nếu độ lệch chuẩn của lớp 12A lớn hơn 1.03. Đáp án: a) Khoảng biến thiên của điểm trung bình của học sinh lớp 12B là 4. b) Khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với lớp 12B là 3. c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với lớp 12B là 1,06. d) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh lớp 12B có điểm trung bình ít phân tán hơn học sinh lớp 12A. Câu 1. Để ba điểm \(A\), \(B\), và \(C\) thẳng hàng, vectơ \(AB\) và vectơ \(AC\) phải cùng phương. Ta sẽ tính vectơ \(AB\) và vectơ \(AC\) rồi tìm điều kiện để chúng cùng phương. 1. Tính vectơ \(AB\): \[ AB = B - A = (1 - (-1); 5 - 3; -1 - 0) = (2; 2; -1) \] 2. Tính vectơ \(AC\): \[ AC = C - A = (x - (-1); 1 - 3; y - 0) = (x + 1; -2; y) \] 3. Để \(AB\) và \(AC\) cùng phương, tồn tại số thực \(k\) sao cho: \[ AC = k \cdot AB \] \[ (x + 1; -2; y) = k \cdot (2; 2; -1) \] Từ đây ta có hệ phương trình: \[ x + 1 = 2k \] \[ -2 = 2k \] \[ y = -k \] Giải phương trình thứ hai: \[ -2 = 2k \Rightarrow k = -1 \] Thay \(k = -1\) vào phương trình đầu tiên: \[ x + 1 = 2(-1) \Rightarrow x + 1 = -2 \Rightarrow x = -3 \] Thay \(k = -1\) vào phương trình cuối cùng: \[ y = -(-1) \Rightarrow y = 1 \] Vậy \(x = -3\) và \(y = 1\). Do đó, \(x + y = -3 + 1 = -2\). Đáp số: \(x + y = -2\). Câu 2. Để tìm giá trị của \( x \) sao cho lợi nhuận của công ty cao nhất, ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số \( F(x) = -\frac{x^2}{50.000} + 90x \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = -\frac{2x}{50.000} + 90 = -\frac{x}{25.000} + 90 \] Bước 2: Tìm điểm cực đại bằng cách giải phương trình \( F'(x) = 0 \): \[ -\frac{x}{25.000} + 90 = 0 \] \[ -\frac{x}{25.000} = -90 \] \[ x = 90 \times 25.000 \] \[ x = 2.250.000 \] Bước 3: Kiểm tra tính chất của đạo hàm để xác định đây là điểm cực đại: \[ F''(x) = -\frac{1}{25.000} \] Vì \( F''(x) < 0 \), nên \( x = 2.250.000 \) là điểm cực đại của hàm số \( F(x) \). Bước 4: Kết luận: Giá trị lớn nhất của lợi nhuận \( F(x) \) đạt được khi \( x = 2.250.000 \) đồng. Vậy công ty cần cho thuê căn hộ với giá 2.250.000 đồng mỗi tháng để lợi nhuận của công ty cao nhất. Câu 3: Trước tiên, ta nhận thấy rằng lực căng của mỗi sợi dây OA, OB, OC đều bằng nhau và đều tạo với đường thẳng thẳng đứng một góc 60°. Do đó, ta có thể phân tích lực căng của mỗi sợi dây thành hai thành phần: một thành phần dọc thẳng đứng và một thành phần ngang. Ta gọi trọng lượng của chiếc đèn là \( W \). Mỗi sợi dây chịu một lực căng \( |\overrightarrow{F_1}| = |\overrightarrow{F_2}| = |\overrightarrow{F_3}| = 20 \) N. Ta phân tích lực căng này thành hai thành phần: thành phần dọc thẳng đứng và thành phần ngang. Thành phần dọc thẳng đứng của mỗi lực căng là: \[ F_{1y} = F_{2y} = F_{3y} = 20 \sin(60^\circ) = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \text{ N} \] Vì có ba sợi dây, tổng lực dọc thẳng đứng do ba sợi dây tạo ra là: \[ 3 \times 10\sqrt{3} = 30\sqrt{3} \text{ N} \] Trọng lượng của chiếc đèn là: \[ W = 30\sqrt{3} \text{ N} \] Tính toán giá trị số: \[ 30\sqrt{3} \approx 30 \times 1.732 = 51.96 \text{ N} \] Làm tròn kết quả đến hàng phần chục: \[ W \approx 52.0 \text{ N} \] Vậy trọng lượng của chiếc đèn là: \[ \boxed{52.0 \text{ N}} \] Câu 4. Điểm \( M \) thuộc mặt phẳng \( (Oxy) \) nên tọa độ của \( M \) có dạng \( M(a, b, 0) \). Ta tính \( MA^2 \) và \( MB^2 \): \[ MA^2 = (a - 2)^2 + (b - 3)^2 + (0 - 6)^2 = (a - 2)^2 + (b - 3)^2 + 36 \] \[ MB^2 = (a - 4)^2 + (b + 1)^2 + (0 - 2)^2 = (a - 4)^2 + (b + 1)^2 + 4 \] Tổng \( MA^2 + MB^2 \) là: \[ MA^2 + MB^2 = (a - 2)^2 + (b - 3)^2 + 36 + (a - 4)^2 + (b + 1)^2 + 4 \] \[ = (a - 2)^2 + (a - 4)^2 + (b - 3)^2 + (b + 1)^2 + 40 \] \[ = (a^2 - 4a + 4) + (a^2 - 8a + 16) + (b^2 - 6b + 9) + (b^2 + 2b + 1) + 40 \] \[ = 2a^2 - 12a + 20 + 2b^2 - 4b + 10 + 40 \] \[ = 2a^2 - 12a + 2b^2 - 4b + 70 \] Để \( MA^2 + MB^2 \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( 2a^2 - 12a + 2b^2 - 4b + 70 \). Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \( a \) và \( b \): \[ 2a^2 - 12a + 2b^2 - 4b + 70 = 2(a^2 - 6a) + 2(b^2 - 2b) + 70 \] Hoàn thành bình phương: \[ = 2((a - 3)^2 - 9) + 2((b - 1)^2 - 1) + 70 \] \[ = 2(a - 3)^2 - 18 + 2(b - 1)^2 - 2 + 70 \] \[ = 2(a - 3)^2 + 2(b - 1)^2 + 50 \] Biểu thức này đạt giá trị nhỏ nhất khi \( (a - 3)^2 = 0 \) và \( (b - 1)^2 = 0 \), tức là \( a = 3 \) và \( b = 1 \). Do đó, tọa độ của điểm \( M \) là \( M(3, 1, 0) \). Giá trị của \( a + b + c \) là: \[ a + b + c = 3 + 1 + 0 = 4 \] Đáp số: \( a + b + c = 4 \) Câu 5. Để tìm giá trị của \( K = m^2 + n^2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của (C) và đường thẳng \( y = 3x + 2 \): - Thay \( y = 3x + 2 \) vào phương trình của (C): \[ 3x + 2 = \frac{2x^2 + 3x + 4}{x - 1} \] - Nhân cả hai vế với \( x - 1 \) để loại bỏ mẫu số: \[ (3x + 2)(x - 1) = 2x^2 + 3x + 4 \] - Раскрыть скобки и привести подобные члены: \[ 3x^2 - 3x + 2x - 2 = 2x^2 + 3x + 4 \] \[ 3x^2 - x - 2 = 2x^2 + 3x + 4 \] - Перенести все члены в одну сторону уравнения: \[ 3x^2 - x - 2 - 2x^2 - 3x - 4 = 0 \] \[ x^2 - 4x - 6 = 0 \] 2. Решить квадратное уравнение \( x^2 - 4x - 6 = 0 \): - Используем формулу корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 2 \pm \sqrt{10} \] - Таким образом, корни уравнения \( x_1 = 2 + \sqrt{10} \) и \( x_2 = 2 - \sqrt{10} \). 3. Найти значение \( K = m^2 + n^2 \): - Здесь \( m = 2 + \sqrt{10} \) и \( n = 2 - \sqrt{10} \). - Вычислим \( m^2 + n^2 \): \[ m^2 + n^2 = (2 + \sqrt{10})^2 + (2 - \sqrt{10})^2 \] \[ = (4 + 4\sqrt{10} + 10) + (4 - 4\sqrt{10} + 10) \] \[ = 4 + 10 + 4 + 10 = 28 \] Таким образом, значение \( K = m^2 + n^2 \) равно 28. Đáp số: \( K = 28 \). Câu 6: Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng (giá trị kỳ vọng) của mẫu số liệu: - Tính trung điểm của mỗi nhóm. - Nhân trung điểm của mỗi nhóm với số lượng nhân viên trong nhóm đó. - Cộng tất cả các kết quả lại và chia cho tổng số nhân viên. 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của hiệu giữa mỗi trung điểm nhóm và trung bình cộng. - Nhân kết quả này với số lượng nhân viên trong nhóm đó. - Cộng tất cả các kết quả lại và chia cho tổng số nhân viên. 3. Tính độ lệch chuẩn: - Lấy căn bậc hai của phương sai. Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Tính trung bình cộng Trung điểm của các nhóm: - Nhóm [10;15): $\frac{10 + 15}{2} = 12.5$ - Nhóm [15;20): $\frac{15 + 20}{2} = 17.5$ - Nhóm [20;25): $\frac{20 + 25}{2} = 22.5$ - Nhóm [25;30): $\frac{25 + 30}{2} = 27.5$ - Nhóm [30;35): $\frac{30 + 35}{2} = 32.5$ - Nhóm [35;40): $\frac{35 + 40}{2} = 37.5$ Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(12.5 \times 15) + (17.5 \times 18) + (22.5 \times 10) + (27.5 \times 10) + (32.5 \times 5) + (37.5 \times 2)}{60} \] \[ \bar{x} = \frac{187.5 + 315 + 225 + 275 + 162.5 + 75}{60} \] \[ \bar{x} = \frac{1235}{60} = 20.5833 \] Bước 2: Tính phương sai Phương sai: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] Trong đó: - \(f_i\) là số lượng nhân viên trong nhóm thứ \(i\). - \(x_i\) là trung điểm của nhóm thứ \(i\). - \(\bar{x}\) là trung bình cộng. - \(n\) là tổng số nhân viên. Ta tính từng phần: \[ (12.5 - 20.5833)^2 = (-8.0833)^2 = 65.339 \] \[ (17.5 - 20.5833)^2 = (-3.0833)^2 = 9.508 \] \[ (22.5 - 20.5833)^2 = (1.9167)^2 = 3.674 \] \[ (27.5 - 20.5833)^2 = (6.9167)^2 = 47.841 \] \[ (32.5 - 20.5833)^2 = (11.9167)^2 = 142.011 \] \[ (37.5 - 20.5833)^2 = (16.9167)^2 = 286.174 \] Nhân với số lượng nhân viên: \[ 15 \times 65.339 = 980.085 \] \[ 18 \times 9.508 = 171.144 \] \[ 10 \times 3.674 = 36.74 \] \[ 10 \times 47.841 = 478.41 \] \[ 5 \times 142.011 = 710.055 \] \[ 2 \times 286.174 = 572.348 \] Cộng tất cả: \[ 980.085 + 171.144 + 36.74 + 478.41 + 710.055 + 572.348 = 2948.782 \] Phương sai: \[ s^2 = \frac{2948.782}{60} = 49.146 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn: \[ s = \sqrt{49.146} \approx 7.01 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng 7.01 triệu đồng.