giúp mình với

Để tính tích phân $\int^{\frac{\pi}{4}}_0 \frac{4 - \cos(\alpha x)}{4 + \cos(\alpha x)} dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét tính chất của hàm số trong tích phân: - Hàm số $\frac{4 - \cos(\alpha x)}{4 + \cos(\alpha x)}$ là hàm chẵn nếu $\alpha$ là hằng số. Bước 2: Tách tích phân thành hai phần: \[ \int^{\frac{\pi}{4}}_0 \frac{4 - \cos(\alpha x)}{4 + \cos(\alpha x)} dx = \int^{\frac{\pi}{4}}_0 \left(1 - \frac{2 \cos(\alpha x)}{4 + \cos(\alpha x)}\right) dx \] Bước 3: Tính từng phần riêng lẻ: \[ \int^{\frac{\pi}{4}}_0 1 \, dx = \left[ x \right]^{\frac{\pi}{4}}_0 = \frac{\pi}{4} \] Bước 4: Tính phần còn lại: \[ \int^{\frac{\pi}{4}}_0 \frac{2 \cos(\alpha x)}{4 + \cos(\alpha x)} dx \] Đặt $u = \cos(\alpha x)$, thì $du = -\alpha \sin(\alpha x) dx$. Khi đó: \[ dx = -\frac{1}{\alpha \sin(\alpha x)} du \] Tích phân trở thành: \[ \int^{\frac{\pi}{4}}_0 \frac{2 \cos(\alpha x)}{4 + \cos(\alpha x)} dx = \int_{\cos(0)}^{\cos(\frac{\pi}{4})} \frac{2 u}{(4 + u)(-\alpha \sin(\alpha x))} du \] Do $\sin(\alpha x)$ không đổi dấu trong khoảng này, ta có thể bỏ dấu trừ: \[ = -\frac{2}{\alpha} \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{u}{4 + u} du \] Bước 5: Tính tích phân $\int \frac{u}{4 + u} du$: \[ \int \frac{u}{4 + u} du = \int \left(1 - \frac{4}{4 + u}\right) du = u - 4 \ln|4 + u| \] Bước 6: Thay cận vào: \[ -\frac{2}{\alpha} \left[ u - 4 \ln|4 + u| \right]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] \[ = -\frac{2}{\alpha} \left( \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \ln \left| 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right| \right) - \left( 1 - 4 \ln |4 + 1| \right) \right) \] \[ = -\frac{2}{\alpha} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \ln \left( 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) - 1 + 4 \ln 5 \right) \] \[ = -\frac{2}{\alpha} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 + 4 \ln 5 - 4 \ln \left( 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right) \] Bước 7: Kết hợp các kết quả: \[ \int^{\frac{\pi}{4}}_0 \frac{4 - \cos(\alpha x)}{4 + \cos(\alpha x)} dx = \frac{\pi}{4} - \frac{2}{\alpha} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 + 4 \ln 5 - 4 \ln \left( 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right) \] Đáp số cuối cùng: \[ \boxed{\frac{\pi}{4} - \frac{2}{\alpha} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 + 4 \ln 5 - 4 \ln \left( 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right)} \]