giúp tui với

Câu 1. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a) Hàm số đồng biến trên $(0;2)$ Hàm số $y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số, ta cần tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \] Từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$. Điều này có nghĩa là $f'(x) > 0$ trên khoảng $(0;2)$. Phần b) Đồ thị hàm số đạt cực đại tại điểm $x=2$ Từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 2$. Điều này có nghĩa là $f'(2) = 0$ và $f''(2) < 0$. Phần c) Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-1;2]$ là $2$ Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-1;2]$, ta cần tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và các điểm cực trị nằm trong đoạn này. - Tại $x = -1$: $f(-1) = a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d = -a + b - c + d$ - Tại $x = 2$: $f(2) = a(2)^3 + b(2)^2 + c(2) + d = 8a + 4b + 2c + d$ Từ đồ thị, ta thấy rằng giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1;2]$ là $2$. Do đó: \[ f(2) = 2 \] \[ 8a + 4b + 2c + d = 2 \] Phần d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng $2\sqrt{5}$ Từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số có hai điểm cực trị, một điểm cực tiểu và một điểm cực đại. Ta đã biết điểm cực đại là $x = 2$. Giả sử điểm cực tiểu là $x = x_1$. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là: \[ |2 - x_1| = 2\sqrt{5} \] Do đó: \[ x_1 = 2 - 2\sqrt{5} \quad \text{hoặc} \quad x_1 = 2 + 2\sqrt{5} \] Tuy nhiên, từ đồ thị, ta thấy rằng điểm cực tiểu nằm trong khoảng $(0;2)$. Vì vậy: \[ x_1 = 2 - 2\sqrt{5} \] Kết luận - Phần a): Hàm số đồng biến trên $(0;2)$. - Phần b): Đồ thị hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 2$. - Phần c): Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-1;2]$ là $2$. - Phần d): Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng $2\sqrt{5}$. Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự. a) Kiểm tra tính chất nghịch biến của hàm số: Hàm số $f(x) = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2}$ có đạo hàm là: \[ f'(x) = \frac{(2x + 3)(x + 2) - (x^2 + 3x + 3)}{(x + 2)^2} = \frac{2x^2 + 7x + 6 - x^2 - 3x - 3}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} = \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)^2} \] Đạo hàm $f'(x)$ có dấu phụ thuộc vào tử số $(x + 1)(x + 3)$. Ta thấy: - $f'(x) < 0$ khi $(x + 1)(x + 3) < 0$, tức là $-3 < x < -1$. - $f'(x) > 0$ khi $(x + 1)(x + 3) > 0$, tức là $x < -3$ hoặc $x > -1$. Do đó, hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-3; -2)$ và $(-2; -1)$. Vậy phần a đúng. b) Kiểm tra tiệm cận xiên của đồ thị hàm số: Ta thực hiện phép chia đa thức: \[ \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2} = x + 1 + \frac{1}{x + 2} \] Khi $x \to \pm \infty$, $\frac{1}{x + 2} \to 0$, vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = x + 1$. Phần b sai. c) Kiểm tra tâm đối xứng của đồ thị hàm số: Để kiểm tra tâm đối xứng, ta cần kiểm tra tính chất của hàm số khi dịch chuyển về gốc tọa độ. Ta thay $x = u - 2$ vào hàm số: \[ f(u - 2) = \frac{(u - 2)^2 + 3(u - 2) + 3}{u - 2 + 2} = \frac{u^2 - 4u + 4 + 3u - 6 + 3}{u} = \frac{u^2 - u + 1}{u} = u - 1 + \frac{1}{u} \] Như vậy, hàm số $g(u) = u - 1 + \frac{1}{u}$ có tâm đối xứng tại $(0, -1)$. Do đó, tâm đối xứng của đồ thị hàm số ban đầu là điểm $I(-2, -1)$. Phần c đúng. d) Kiểm tra bảng biến thiên của hàm số: Bảng biến thiên của hàm số đã cho là: | x | (-∞, -3) | -3 | (-3, -2) | -2 | (-2, -1) | -1 | (-1, ∞) | |--------|----------|----|----------|----|----------|----|---------| | f'(x) | + | 0 | - | D | - | 0 | + | | f(x) | tăng | | giảm | | giảm | | tăng | Vậy phần d đúng. Kết luận: Các phần đúng là a, c, d. Phần b sai vì tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = x + 1$.