toán lớp 12

Câu 1. Để xác định điểm cực tiểu của hàm số \( y = f(x) \), ta cần kiểm tra các điểm mà tại đó đạo hàm \( f'(x) \) thay đổi dấu từ âm sang dương. Dựa vào đồ thị, ta thấy: - Tại \( x = 0 \), hàm số đạt cực đại vì đạo hàm \( f'(x) \) thay đổi từ dương sang âm. - Tại \( x = 2 \), đạo hàm \( f'(x) \) thay đổi từ âm sang dương, do đó đây là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 4 \), đạo hàm \( f'(x) \) thay đổi từ dương sang âm, do đó đây là điểm cực đại. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm \( x = 2 \). Đáp án đúng là: C. \( x = 2 \). Câu 2: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta thấy rằng: - Khi $x$ tăng từ $-\infty$ đến $x = -2$, hàm số giảm dần. - Tại điểm $x = -2$, hàm số đạt giá trị cực tiểu là $f(-2) = -4$. - Khi $x$ tăng từ $x = -2$ đến $x = 2$, hàm số tăng dần. - Tại điểm $x = 2$, hàm số đạt giá trị cực đại là $f(2) = 3$. - Khi $x$ tăng từ $x = 2$ đến $+\infty$, hàm số giảm dần. Do đó, giá trị cực tiểu của hàm số là $-4$, đạt được khi $x = -2$. Vậy đáp án đúng là: C. -4 Câu 3. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta thấy rằng hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$. Cụ thể: - Trên khoảng $(-\infty; 1)$, hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(1; 3)$, hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(3; +\infty)$, hàm số đồng biến. Do đó, đáp án đúng là: D. $(1; 3)$. Câu 4. Để tìm tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([-1; 5]\), chúng ta cần xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn này thông qua đồ thị. 1. Xác định giá trị lớn nhất: - Từ đồ thị, ta thấy rằng giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([-1; 5]\) là 3, đạt được tại điểm \( x = 2 \). 2. Xác định giá trị nhỏ nhất: - Từ đồ thị, ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([-1; 5]\) là -1, đạt được tại điểm \( x = -1 \). 3. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([-1; 5]\) là: \[ 3 + (-1) = 2 \] Vậy, tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([-1; 5]\) bằng 2. Đáp án đúng là: D. 2. Câu 5: Để xác định khẳng định đúng về tiệm cận của đồ thị hàm số, ta sẽ kiểm tra từng loại tiệm cận dựa trên giới hạn đã cho. 1. Tiệm cận đứng: - Tiệm cận đứng của hàm số là đường thẳng \( x = a \) nếu \(\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty\) hoặc \(\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty\). - Trong bài toán này, ta có: \[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = 1 \quad \text{và} \quad \lim_{x \to 2^-} f(x) = 1 \] - Vì cả hai giới hạn đều hữu hạn và bằng 1, nên đường thẳng \( x = 2 \) không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 2. Tiệm cận ngang: - Tiệm cận ngang của hàm số là đường thẳng \( y = b \) nếu \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = b\) hoặc \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = b\). - Trong bài toán này, ta có: \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 2 \quad \text{và} \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 \] - Vì cả hai giới hạn đều bằng 2, nên đường thẳng \( y = 2 \) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Do đó, khẳng định đúng là: C. Đường thẳng \( y = 2 \) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Câu 6. Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{3x + 2}{x - 2} \), ta cần xác định các giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng 0 vì tại những điểm này hàm số không xác định và có thể có tiệm cận đứng. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): \[ x - 2 \neq 0 \] \[ x \neq 2 \] Bước 2: Tìm giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng 0: \[ x - 2 = 0 \] \[ x = 2 \] Bước 3: Kiểm tra giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến giá trị vừa tìm được: \[ \lim_{x \to 2^+} \frac{3x + 2}{x - 2} = +\infty \] \[ \lim_{x \to 2^-} \frac{3x + 2}{x - 2} = -\infty \] Như vậy, khi \( x \) tiến đến 2 từ bên phải hoặc bên trái, giá trị của hàm số sẽ tiến đến vô cùng dương hoặc vô cùng âm, cho thấy tồn tại tiệm cận đứng tại \( x = 2 \). Kết luận: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{3x + 2}{x - 2} \) là đường thẳng có phương trình \( x = 2 \). Đáp án đúng là: A. \( x = 2 \).