Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... (Giải thích các bước giải và lí luận chi tiết giúp mình với ạ

Bài 24: Để chứng minh rằng \( A = 4 + 4^2 + 4^3 + ... + 4^{24} \) chia hết cho 20, 21 và 420, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: Bước 1: Chứng minh \( A \) chia hết cho 20 Ta thấy rằng \( 4 = 2^2 \). Do đó, mọi số hạng trong dãy \( 4, 4^2, 4^3, ..., 4^{24} \) đều là bội của 4. Ta có thể viết lại \( A \) dưới dạng: \[ A = 4(1 + 4 + 4^2 + ... + 4^{23}) \] Nhận thấy rằng \( 4 = 2^2 \), do đó \( 4 \) chia hết cho 4. Hơn nữa, \( 1 + 4 + 4^2 + ... + 4^{23} \) là tổng của các số hạng đều là bội của 4, nên nó cũng là một số chẵn. Vì vậy, \( A \) là tích của 4 và một số chẵn, do đó \( A \) chia hết cho 8. Bây giờ, ta cần chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 5. Ta xét các số hạng của dãy \( 4, 4^2, 4^3, ..., 4^{24} \): - \( 4 \equiv 4 \pmod{5} \) - \( 4^2 = 16 \equiv 1 \pmod{5} \) - \( 4^3 = 64 \equiv 4 \pmod{5} \) - \( 4^4 = 256 \equiv 1 \pmod{5} \) Như vậy, các số hạng của dãy \( 4, 4^2, 4^3, ..., 4^{24} \) lặp lại theo chu kỳ 2 với các giá trị \( 4 \) và \( 1 \). Do đó, tổng của các số hạng này sẽ là: \[ 4 + 1 + 4 + 1 + ... + 4 + 1 \] Có 12 cặp \( (4 + 1) \), mỗi cặp có tổng là 5. Vậy tổng của tất cả các số hạng này là: \[ 12 \times 5 = 60 \] Vì vậy, \( A \) chia hết cho 5. Tổng hợp lại, \( A \) chia hết cho cả 8 và 5, do đó \( A \) chia hết cho 20. Bước 2: Chứng minh \( A \) chia hết cho 21 Ta xét các số hạng của dãy \( 4, 4^2, 4^3, ..., 4^{24} \): - \( 4 \equiv 4 \pmod{21} \) - \( 4^2 = 16 \equiv 16 \pmod{21} \) - \( 4^3 = 64 \equiv 1 \pmod{21} \) - \( 4^4 = 256 \equiv 4 \pmod{21} \) Như vậy, các số hạng của dãy \( 4, 4^2, 4^3, ..., 4^{24} \) lặp lại theo chu kỳ 3 với các giá trị \( 4, 16, 1 \). Do đó, tổng của các số hạng này sẽ là: \[ 4 + 16 + 1 + 4 + 16 + 1 + ... + 4 + 16 + 1 \] Có 8 nhóm \( (4 + 16 + 1) \), mỗi nhóm có tổng là 21. Vậy tổng của tất cả các số hạng này là: \[ 8 \times 21 = 168 \] Vì vậy, \( A \) chia hết cho 21. Bước 3: Chứng minh \( A \) chia hết cho 420 Ta đã chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 20 và 21. Vì 20 và 21 là hai số nguyên tố cùng nhau, do đó \( A \) chia hết cho tích của chúng: \[ 20 \times 21 = 420 \] Vậy \( A \) chia hết cho 420. Kết luận \( A = 4 + 4^2 + 4^3 + ... + 4^{24} \) chia hết cho 20, 21 và 420. Bài 25: Để tìm các số tự nhiên \(a\) và \(b\) sao cho \(a < b\), ƯCLN \((a, b) = 12\) và BCNN \((a, b) = 240\), chúng ta sẽ làm như sau: 1. Tìm thương của hai số: Gọi \(a = 12 \times m\) và \(b = 12 \times n\), trong đó \(m\) và \(n\) là các số tự nhiên và \(m < n\). 2. Áp dụng công thức BCNN: Ta có: \[ BCNN(a, b) = 12 \times m \times n = 240 \] Do đó: \[ m \times n = \frac{240}{12} = 20 \] 3. Tìm các cặp số \(m\) và \(n\): Các cặp số \(m\) và \(n\) sao cho \(m \times n = 20\) và \(m < n\) là: - \(m = 1\), \(n = 20\) - \(m = 2\), \(n = 10\) - \(m = 4\), \(n = 5\) 4. Tìm các số \(a\) và \(b\): - Nếu \(m = 1\) và \(n = 20\): \[ a = 12 \times 1 = 12, \quad b = 12 \times 20 = 240 \] - Nếu \(m = 2\) và \(n = 10\): \[ a = 12 \times 2 = 24, \quad b = 12 \times 10 = 120 \] - Nếu \(m = 4\) và \(n = 5\): \[ a = 12 \times 4 = 48, \quad b = 12 \times 5 = 60 \] Vậy các cặp số tự nhiên \(a\) và \(b\) thỏa mãn điều kiện là: - \(a = 12\), \(b = 240\) - \(a = 24\), \(b = 120\) - \(a = 48\), \(b = 60\) Bài 26: a) Ta thấy hiệu của hai số là: $(n+3)-(n+2)=1$ Mà 1 là số bé nhất trong các số tự nhiên nên hai số trên là hai số nguyên tố cùng nhau. b) Ta thấy hiệu của hai số là: $(3n+5)-(2n+3)=n+2$ Mà $n+2>1$ nên hai số trên không phải là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 27: a) Ta có: $4n-5=2\times (2n-1)-3$ Do đó $(4n-5)\vdots (2n-1)$ khi $(2n-1)\vdots 3$ Suy ra $n=2;5;8;...$ c) Ta có: $6n+7=2\times (3n-2)+11$ Do đó $(6n+7)\vdots (3n-2)$ khi $(3n-2)\vdots 11$ Suy ra $n=4;15;...$