Giải chi tiết toán

Câu 25: Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{c}$ là tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2; 1; -2)$ và $\overrightarrow{b} = (1; 0; 2)$, ta thực hiện theo công thức tính tích có hướng của hai vectơ trong không gian. Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3)$ và $\overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3)$ được tính như sau: \[ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k} \] Áp dụng vào bài toán cụ thể: \[ \overrightarrow{a} = (2, 1, -2) \] \[ \overrightarrow{b} = (1, 0, 2) \] Ta có: \[ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2 - (-2) \cdot 0)\mathbf{i} - (2 \cdot 2 - (-2) \cdot 1)\mathbf{j} + (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1)\mathbf{k} \] Tính từng thành phần: \[ (1 \cdot 2 - (-2) \cdot 0) = 2 \] \[ -(2 \cdot 2 - (-2) \cdot 1) = -(4 + 2) = -6 \] \[ (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = -1 \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{c}$ là: \[ \overrightarrow{c} = (2, -6, -1) \] Do đó, đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{c} = (2, -6, -1)$. Câu 26: Để tìm cosin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, ta sử dụng công thức: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-3) \times 5 + 4 \times 0 + 0 \times 12 = -15 + 0 + 0 = -15 \] Tiếp theo, ta tính độ dài của mỗi vectơ: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5 \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{5^2 + 0^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 0 + 144} = \sqrt{169} = 13 \] Bây giờ, ta thay vào công thức để tìm cosin của góc: \[ \cos(\theta) = \frac{-15}{5 \times 13} = \frac{-15}{65} = -\frac{3}{13} \] Vậy, cosin của góc giữa $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là: \[ \boxed{-\frac{3}{13}} \] Đáp án đúng là: D. $-\frac{3}{13}$. Câu 27: Để tìm góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{u} = (-\sqrt{3}; 0; 1)$, ta sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{u}}{|\overrightarrow{i}| |\overrightarrow{u}|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{u}$: \[ \overrightarrow{i} = (1, 0, 0) \] \[ \overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{u} = 1 \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = -\sqrt{3} \] Tiếp theo, ta tính độ dài của hai vectơ: \[ |\overrightarrow{i}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1 \] \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \] Bây giờ, ta thay vào công thức: \[ \cos(\theta) = \frac{-\sqrt{3}}{1 \cdot 2} = \frac{-\sqrt{3}}{2} \] Ta biết rằng: \[ \cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Do đó, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{u}$ là: \[ \theta = 150^\circ \] Vậy đáp án đúng là: C. $150^\circ$. Câu 28: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số liệu. Trong bảng thống kê, nhóm cân nặng đầu tiên là [250; 290) và nhóm cân nặng cuối cùng là [410; 450). Do đó, giá trị nhỏ nhất có thể là 250 g và giá trị lớn nhất có thể là 450 g. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: 450 - 250 = 200 (g) Vậy đáp án đúng là D. 200. Câu 29: Phương sai luôn luôn là số không âm vì nó là trung bình cộng của các bình phương độ lệch từ giá trị trung bình. Do đó, khẳng định A là đúng. Phương sai là bình phương của độ lệch chuẩn, do đó khẳng định B là đúng. Phương sai càng lớn thì độ phân tán của các giá trị quanh số trung bình càng lớn, do đó khẳng định C là đúng. Phương sai luôn luôn lớn hơn hoặc bằng độ lệch chuẩn, nhưng không phải lúc nào cũng lớn hơn. Nếu độ lệch chuẩn bằng 0, phương sai cũng sẽ bằng 0. Do đó, khẳng định D là sai. Vậy khẳng định sai là: D. Phương sai luôn luôn lớn hơn độ lệch chuẩn. Câu 30: Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định các giá trị tứ phân vị: - Tứ phân vị thứ nhất (Q1) là giá trị nằm ở vị trí 25% của dữ liệu đã sắp xếp. - Tứ phân vị thứ ba (Q3) là giá trị nằm ở vị trí 75% của dữ liệu đã sắp xếp. 2. Tính tổng số hộ gia đình: Tổng số hộ gia đình = 24 + 62 + 34 + 21 + 9 = 150 hộ. 3. Xác định vị trí của Q1 và Q3: - Vị trí của Q1 = 0,25 × 150 = 37,5 (chọn giá trị ở vị trí 38). - Vị trí của Q3 = 0,75 × 150 = 112,5 (chọn giá trị ở vị trí 113). 4. Xác định các khoảng tương ứng: - Khoảng từ 200 đến 250 triệu đồng có 24 hộ. - Khoảng từ 250 đến 300 triệu đồng có 62 hộ. - Khoảng từ 300 đến 350 triệu đồng có 34 hộ. - Khoảng từ 350 đến 400 triệu đồng có 21 hộ. - Khoảng từ 400 đến 450 triệu đồng có 9 hộ. 5. Xác định Q1 và Q3: - Q1 nằm trong khoảng từ 250 đến 300 triệu đồng vì 24 < 38 < 86 (tổng của 24 và 62). - Q3 nằm trong khoảng từ 300 đến 350 triệu đồng vì 86 < 113 < 120 (tổng của 24, 62 và 34). 6. Tính giá trị cụ thể của Q1 và Q3: - Q1 = 250 + $\frac{(38 - 24)}{62} \times 50$ ≈ 250 + $\frac{14}{62} \times 50$ ≈ 250 + 11,29 ≈ 261,29 triệu đồng. - Q3 = 300 + $\frac{(113 - 86)}{34} \times 50$ ≈ 300 + $\frac{27}{34} \times 50$ ≈ 300 + 39,41 ≈ 339,41 triệu đồng. 7. Tính khoảng tứ phân vị: Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 339,41 - 261,29 = 78,12 triệu đồng. Do đó, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là 78,12 triệu đồng, làm tròn đến hàng phần trăm là 78,12 triệu đồng. Đáp án đúng là: A. 78,08. Câu 31: Để tìm giá trị của \( F(\ln 3) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của \( f(x) = e^{2x} \): Ta biết rằng nếu \( f(x) = e^{2x} \), thì một nguyên hàm của nó sẽ có dạng: \[ F(x) = \int e^{2x} \, dx \] Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ \( e^{ax} \): \[ \int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C \] Với \( a = 2 \), ta có: \[ F(x) = \frac{1}{2} e^{2x} + C \] 2. Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F(0) = 0 \): Thay \( x = 0 \) vào \( F(x) \): \[ F(0) = \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0} + C = \frac{1}{2} e^0 + C = \frac{1}{2} \cdot 1 + C = \frac{1}{2} + C \] Theo điều kiện \( F(0) = 0 \): \[ \frac{1}{2} + C = 0 \implies C = -\frac{1}{2} \] Vậy, nguyên hàm cụ thể của \( f(x) \) là: \[ F(x) = \frac{1}{2} e^{2x} - \frac{1}{2} \] 3. Tính giá trị của \( F(\ln 3) \): Thay \( x = \ln 3 \) vào \( F(x) \): \[ F(\ln 3) = \frac{1}{2} e^{2 \ln 3} - \frac{1}{2} \] Ta biết rằng \( e^{2 \ln 3} = (e^{\ln 3})^2 = 3^2 = 9 \). Do đó: \[ F(\ln 3) = \frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] Vậy giá trị của \( F(\ln 3) \) là \( 4 \). Đáp án đúng là: D. 4.