Chsncnsmxmcn

Câu 16. Để giải quyết các phần của bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a) Góc phẳng nhị diện $[A, CC', B] = 60^0$ - Xét tam giác $ACC'$ và $BCC'$ trong lăng trụ đứng. Vì lăng trụ đứng nên $CC'$ vuông góc với cả $AC$ và $BC$. - Ta có $\widehat{ACC'} = \widehat{BCC'} = 90^0$. - Góc phẳng nhị diện $[A, CC', B]$ là góc giữa hai mặt phẳng $(ACC')$ và $(BCC')$. - Vì $CC'$ chung và vuông góc với cả hai mặt phẳng, góc phẳng nhị diện này chính là góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $BC$ trong mặt phẳng $(ABC)$. - Ta biết $\widehat{ACB} = 120^0$, do đó góc phẳng nhị diện $[A, CC', B]$ cũng là $120^0$. Phần b) Biết khoảng cách giữa hai mặt đáy lăng trụ bằng 2a. Khi đó $V = a^3\sqrt{3}$ - Diện tích đáy tam giác $ABC$: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\widehat{ACB}) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2a \cdot \sin(120^0) = \frac{1}{2} \cdot 2a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \] - Khoảng cách giữa hai mặt đáy là chiều cao của lăng trụ, tức là $CC' = 2a$. - Thể tích lăng trụ: \[ V = S_{ABC} \cdot CC' = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot 2a = a^3 \sqrt{3} \] Phần c) $V_{MABC} = \frac{1}{6}V$ - Điểm $M$ là trung điểm của $BB'$, do đó $BM = \frac{1}{2}BB' = a$. - Thể tích khối chóp $MABC$: \[ V_{MABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot BM = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot a = \frac{a^3 \sqrt{3}}{6} \] - Thể tích lăng trụ $V = a^3 \sqrt{3}$, do đó: \[ V_{MABC} = \frac{1}{6}V \] Phần d) $d(C', (ABB'A')) = \frac{a \sqrt{21}}{7}$ - Mặt phẳng $(ABB'A')$ song song với $CC'$, do đó khoảng cách từ $C'$ đến $(ABB'A')$ chính là khoảng cách từ $C'$ đến $AB$. - Ta tính khoảng cách từ $C'$ đến $AB$ bằng cách hạ đường cao từ $C'$ xuống $AB$. - Diện tích tam giác $ABC$ đã tính ở trên là $\frac{a^2 \sqrt{3}}{2}$. - Độ dài $AB$: \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\widehat{ACB})} = \sqrt{a^2 + (2a)^2 - 2 \cdot a \cdot 2a \cdot (-\frac{1}{2})} = \sqrt{a^2 + 4a^2 + 2a^2} = \sqrt{7a^2} = a\sqrt{7} \] - Khoảng cách từ $C'$ đến $AB$: \[ d(C', AB) = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{AB} = \frac{2 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{2}}{a \sqrt{7}} = \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{a \sqrt{21}}{7} \] Kết luận: a) Góc phẳng nhị diện $[A, CC', B] = 120^0$. b) $V = a^3 \sqrt{3}$. c) $V_{MABC} = \frac{1}{6}V$. d) $d(C', (ABB'A')) = \frac{a \sqrt{21}}{7}$.