gúiuhshissejeuehhehu

Câu 1: Để tính tổng của dãy số \( S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + ... + \frac{1}{3^n} + ... \), ta nhận thấy đây là một dãy số vô hạn với mỗi số hạng là một phân số lũy thừa của 3. Dãy số này là một dãy số hình học vô hạn với số hạng đầu tiên \( a = 1 \) và công bội \( q = \frac{1}{3} \). Công thức tính tổng của dãy số hình học vô hạn là: \[ S = \frac{a}{1 - q} \] Áp dụng vào bài toán: \[ S = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} \] \[ S = \frac{1}{\frac{2}{3}} \] \[ S = \frac{3}{2} \] Vậy giá trị của tổng \( S \) là \( \frac{3}{2} \). Đáp án đúng là: D. $\frac{3}{2}$. Câu 2: Để tìm số học sinh hoàn thành bài tập dưới 12 phút, chúng ta cần cộng tổng số học sinh thuộc các khoảng thời gian từ [0;4), [4;8), và [8;12). - Số học sinh trong khoảng thời gian [0;4) là 2 học sinh. - Số học sinh trong khoảng thời gian [4;8) là 4 học sinh. - Số học sinh trong khoảng thời gian [8;12) là 7 học sinh. Vậy tổng số học sinh hoàn thành bài tập dưới 12 phút là: \[ 2 + 4 + 7 = 13 \] Đáp án đúng là: C. 13. Câu 3: A. Nếu $\lim u_n=a>0$ và $\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=0$ thì $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{u_{n}}{v_n}=+\infty.$ - Đây là mệnh đề đúng vì khi $u_n$ tiến đến một hằng số dương $a$ và $v_n$ tiến đến 0, thì $\frac{u_n}{v_n}$ sẽ tiến đến $+\infty$. B. Nếu $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=a\ne0$ và $\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=+\infty$ thì $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{u_n}{v_n}=0.$ - Đây là mệnh đề đúng vì khi $u_n$ tiến đến một hằng số khác 0 và $v_n$ tiến đến $+\infty$, thì $\frac{u_n}{v_n}$ sẽ tiến đến 0. C. Nếu $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=a< 0$ và $\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=0$ và $v_n>0$ với mọi $n\in\mathbb N^$ thì $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{u_n}{v_n}=-\infty.$ - Đây là mệnh đề đúng vì khi $u_n$ tiến đến một hằng số âm $a$ và $v_n$ tiến đến 0 từ phía dương, thì $\frac{u_n}{v_n}$ sẽ tiến đến $-\infty$. D. Nếu $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty$ và $\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=a>0$ thì $\lim_{n\rightarrow+\infty}(u_n.v_n)=+\infty.$ - Đây là mệnh đề đúng vì khi $u_n$ tiến đến $+\infty$ và $v_n$ tiến đến một hằng số dương $a$, thì $u_n.v_n$ sẽ tiến đến $+\infty$. Như vậy, tất cả các mệnh đề đều đúng. Do đó, không có mệnh đề nào sai trong các lựa chọn đã cho. Đáp án: Không có mệnh đề sai. Câu 4: Cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = -3$ và công bội $q = \frac{2}{3}$. Số hạng thứ năm của $(u_n)$ được tính theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Áp dụng vào số hạng thứ năm ($n=5$): \[ u_5 = u_1 \cdot q^{5-1} \] \[ u_5 = -3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 \] Tính $\left(\frac{2}{3}\right)^4$: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81} \] Do đó: \[ u_5 = -3 \cdot \frac{16}{81} = -\frac{3 \cdot 16}{81} = -\frac{48}{81} = -\frac{16}{27} \] Vậy số hạng thứ năm của $(u_n)$ là: \[ u_5 = -\frac{16}{27} \] Đáp án đúng là: A. $u_5 = -\frac{16}{27}$. Câu 5: Để tìm số hạng thứ ba của dãy số $(u_n)$, ta thay $n=3$ vào công thức $u_n=\frac{n}{3^n-1}$. Bước 1: Thay $n=3$ vào công thức: \[ u_3 = \frac{3}{3^3 - 1} \] Bước 2: Tính giá trị của $3^3$: \[ 3^3 = 27 \] Bước 3: Thay giá trị này vào công thức: \[ u_3 = \frac{3}{27 - 1} \] Bước 4: Tính giá trị của mẫu số: \[ 27 - 1 = 26 \] Bước 5: Kết quả cuối cùng: \[ u_3 = \frac{3}{26} \] Vậy số hạng thứ ba của dãy số là $\frac{3}{26}$. Đáp án đúng là: B. $u_3 = \frac{3}{26}$. Câu 6: Để quy đổi từ độ sang radian, ta sử dụng công thức: \[ \text{radian} = \text{độ} \times \frac{\pi}{180} \] Áp dụng công thức này vào bài toán: Bước 1: Thay giá trị độ vào công thức: \[ 20^\circ = 20 \times \frac{\pi}{180} \] Bước 2: Tính toán: \[ 20 \times \frac{\pi}{180} = \frac{20\pi}{180} \] Bước 3: Rút gọn phân số: \[ \frac{20\pi}{180} = \frac{\pi}{9} \] Vậy kết quả là: \[ 20^\circ = \frac{\pi}{9} \text{ rad} \] Do đó, đáp án đúng là: B. $\frac{20\pi}{180} \text{ rad}$ Câu 7: Trong không gian, cho điểm M không thuộc đường thẳng d. Để xác định số lượng đường thẳng song song với đường thẳng d đi qua điểm M, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định mặt phẳng chứa đường thẳng d và điểm M: - Qua điểm M và đường thẳng d, ta có thể xác định được một mặt phẳng duy nhất. Gọi mặt phẳng này là (P). 2. Xác định đường thẳng song song với d trong mặt phẳng (P): - Trong mặt phẳng (P), chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng d đi qua điểm M. Gọi đường thẳng này là d'. 3. Xác định các đường thẳng song song với d ngoài mặt phẳng (P): - Ngoài mặt phẳng (P), ta có thể vẽ vô số đường thẳng song song với đường thẳng d. Các đường thẳng này nằm trong các mặt phẳng khác nhau, mỗi mặt phẳng chứa điểm M và song song với đường thẳng d. Từ các bước trên, ta thấy rằng qua điểm M có thể kẻ được vô số đường thẳng song song với đường thẳng d. Đáp án: D. Vô số. Câu 8: Để tính giới hạn của biểu thức \(3f(x) - 4g(x)\) khi \(x\) tiến đến \(x_0\), ta sử dụng các tính chất của giới hạn. Trước hết, ta biết rằng: \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = 2 \] \[ \lim_{x \to x_0} g(x) = 3 \] Theo tính chất của giới hạn, ta có: \[ \lim_{x \to x_0} [3f(x) - 4g(x)] = 3 \cdot \lim_{x \to x_0} f(x) - 4 \cdot \lim_{x \to x_0} g(x) \] Thay các giới hạn đã biết vào biểu thức trên: \[ \lim_{x \to x_0} [3f(x) - 4g(x)] = 3 \cdot 2 - 4 \cdot 3 \] Tính toán tiếp: \[ \lim_{x \to x_0} [3f(x) - 4g(x)] = 6 - 12 = -6 \] Vậy đáp án đúng là: C. -6 Câu 9: Để lập bảng tần số và tần suất của dữ liệu về chiều cao của học sinh khối 11, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng nhóm và số lượng học sinh trong mỗi khoảng: - Khoảng [150;154): 8 học sinh - Khoảng [154;158): 18 học sinh - Khoảng [158;162): 40 học sinh - Khoảng [162;166): 26 học sinh - Khoảng [166;170): 8 học sinh 2. Tính tổng số học sinh: \[ N = 8 + 18 + 40 + 26 + 8 = 100 \] 3. Tính tần suất của mỗi khoảng: Tần suất của mỗi khoảng được tính bằng cách chia số lượng học sinh trong khoảng đó cho tổng số học sinh. - Tần suất của khoảng [150;154): \[ f_1 = \frac{8}{100} = 0.08 \] - Tần suất của khoảng [154;158): \[ f_2 = \frac{18}{100} = 0.18 \] - Tần suất của khoảng [158;162): \[ f_3 = \frac{40}{100} = 0.40 \] - Tần suất của khoảng [162;166): \[ f_4 = \frac{26}{100} = 0.26 \] - Tần suất của khoảng [166;170): \[ f_5 = \frac{8}{100} = 0.08 \] 4. Lập bảng tần số và tần suất: \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Chiều cao (cm)} & \text{Tần số} & \text{Tần suất} \\ \hline [150;154) & 8 & 0.08 \\ \hline [154;158) & 18 & 0.18 \\ \hline [158;162) & 40 & 0.40 \\ \hline [162;166) & 26 & 0.26 \\ \hline [166;170) & 8 & 0.08 \\ \hline \end{array} \] Như vậy, bảng tần số và tần suất của dữ liệu về chiều cao của học sinh khối 11 đã được lập đầy đủ.