cuuuuuuuuu

Câu 2: a) Mệnh đề sai vì $f(x)$ không xác định tại $x = 1$ do mẫu số $x^2 - 1 = 0$. b) Ta có: \[ f(x) = \frac{x-1}{x^2-1} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x+1} \quad \text{(với } x \neq 1) \] Do đó: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \] Mệnh đề đúng. c) Ta có: \[ f(x) = \frac{x-1}{x^2-1} = \frac{1}{x+1} \quad \text{(với } x \neq 1) \] Do đó: \[ \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{3+1} = \frac{1}{4} \] Mệnh đề đúng. d) Ta có: \[ f(x) = \frac{x-1}{x^2-1} = \frac{1}{x+1} \quad \text{(với } x \neq 1) \] Do đó: \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x+1} = 0 \] Suy ra $a = 0$. Tiếp theo, ta tính $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 2x} - x)$: \[ \sqrt{x^2 + 2x} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + 2x} - x)(\sqrt{x^2 + 2x} + x)}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} = \frac{x^2 + 2x - x^2}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} = \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} \] \[ = \frac{2x}{x \left( \sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1 \right)} = \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1} \] Do đó: \[ \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 2x} - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1} = \frac{2}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{2}{2} = 1 \] Suy ra $b = 1$. Vậy $4a + b = 4 \cdot 0 + 1 = 1$. Mệnh đề đúng. Đáp số: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng. Câu 3: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một để xác định xem chúng đúng hay sai. Phát biểu a) Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AB$. - Ta biết rằng giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng nằm trong cả hai mặt phẳng đó. - Mặt phẳng $(SAB)$ chứa đỉnh $S$, $A$, và $B$. - Mặt phẳng $(SCD)$ chứa đỉnh $S$, $C$, và $D$. - Vì $AB$ và $CD$ là các cạnh đáy của hình thang, nên $AB$ không song song với $CD$. Do đó, giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ không thể song song với $AB$. - Vậy phát biểu a) là sai. Phát biểu b) $LJ \parallel (SAB)$ - Để chứng minh $LJ \parallel (SAB)$, ta cần kiểm tra xem $LJ$ có nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ hay không. - $L$ và $J$ lần lượt thuộc $AD$ và $BC$, nhưng không có thông tin về vị trí của $L$ trên $AD$. - Nếu $L$ nằm trên $AD$ và $J$ nằm trên $BC$, thì $LJ$ không chắc chắn nằm trong mặt phẳng $(SAB)$. - Vậy phát biểu b) là sai. Phát biểu c) $(LJG) \parallel (SCD)$ - Để chứng minh $(LJG) \parallel (SCD)$, ta cần kiểm tra xem các đường thẳng trong mặt phẳng $(LJG)$ có song song với các đường thẳng trong mặt phẳng $(SCD)$ hay không. - $LJ$ nằm trong mặt phẳng $(LJG)$ và $SCD$ nằm trong mặt phẳng $(SCD)$. - Nếu $LJ$ song song với $CD$, thì $(LJG) \parallel (SCD)$. - Tuy nhiên, không có thông tin về vị trí của $L$ trên $AD$, do đó không thể chắc chắn rằng $LJ$ song song với $CD$. - Vậy phát biểu c) là sai. Phát biểu d) $(SAD) \parallel (IJG)$ - Để chứng minh $(SAD) \parallel (IJG)$, ta cần kiểm tra xem các đường thẳng trong mặt phẳng $(SAD)$ có song song với các đường thẳng trong mặt phẳng $(IJG)$ hay không. - $SA$ và $SD$ nằm trong mặt phẳng $(SAD)$. - $IJ$ nằm trong mặt phẳng $(IJG)$. - Nếu $IJ$ song song với $AD$, thì $(SAD) \parallel (IJG)$. - Ta biết rằng $ID = 2IA$ và $CJ = 2JB$, do đó $IJ$ song song với $AD$. - Vậy phát biểu d) là đúng. Kết luận Phát biểu đúng là: d) $(SAD) \parallel (IJG)$. Đáp án: d) $(SAD) \parallel (IJG)$. Câu 4: a) Đúng vì I là giao điểm của AB và CD, do đó I thuộc cả hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Mặt khác, S cũng thuộc cả hai mặt phẳng này. Vậy SI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). b) Đúng vì M thuộc SB và SO, do đó M thuộc mặt phẳng (SOB). Mặt khác, I thuộc AB và CD, do đó I thuộc cả hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Vì vậy, M thuộc mặt phẳng (SOI). c) Đúng vì K là giao điểm của DM và SO, do đó K thuộc cả hai đường thẳng DM và SO. Mặt khác, K cũng thuộc mặt phẳng (SAC) vì SO và AC đều thuộc mặt phẳng này. Vậy giao điểm của đường thẳng MD với mặt phẳng (SAC) là điểm K. d) Sai vì N không thuộc đường thẳng SD. Để chứng minh điều này, ta cần xem xét vị trí của các điểm và đường thẳng liên quan. IO là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABCD) và (SIO), nhưng SD không thuộc mặt phẳng (SIO). Do đó, giao điểm của IO với mặt phẳng (SAD) không thể là điểm N thuộc SD. Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai. Câu 1: Đầu tiên, ta tính chu vi của bánh xe đạp: \[ C = \pi \times d = 3,14 \times 68 = 213,52 \text{ cm} \] Tiếp theo, ta tính quãng đường bánh xe đạp đi được trong 1 giây: \[ \text{Quãng đường bánh xe đạp đi được trong 1 giây} = \frac{213,52 \times 5}{2} = 533,8 \text{ cm} \] Sau đó, ta tính quãng đường bánh xe đạp đi được trong 5 phút (300 giây): \[ \text{Quãng đường bánh xe đạp đi được trong 5 phút} = 533,8 \times 300 = 160140 \text{ cm} \] Cuối cùng, ta chuyển đổi đơn vị từ cm sang m: \[ 160140 \text{ cm} = 1601,4 \text{ m} \] Vậy, độ dài quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong 5 phút là: \[ \boxed{1601 \text{ m}} \] Câu 2: Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại điểm \( x = -2 \), ta cần đảm bảo rằng: 1. \( f(-2) \) tồn tại. 2. Giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến \(-2\) tồn tại và bằng \( f(-2) \). Trước tiên, ta tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến \(-2\): \[ \lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} \frac{x^2 + x - 2}{x + 2}. \] Ta thực hiện phép chia đa thức: \[ x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1). \] Do đó, \[ \frac{x^2 + x - 2}{x + 2} = \frac{(x + 2)(x - 1)}{x + 2} = x - 1 \quad \text{khi} \quad x \neq -2. \] Vậy, \[ \lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} (x - 1) = -2 - 1 = -3. \] Tiếp theo, ta cần \( f(-2) \) cũng bằng \(-3\): \[ f(-2) = m(-2) + 3. \] Để hàm số liên tục tại \( x = -2 \), ta yêu cầu: \[ m(-2) + 3 = -3. \] Giải phương trình này: \[ -2m + 3 = -3, \] \[ -2m = -3 - 3, \] \[ -2m = -6, \] \[ m = 3. \] Vậy giá trị của \( m \) để hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x = -2 \) là \( m = 3 \). Câu 3: Để tìm giới hạn của biểu thức \( \lim_{x \to 5} [3f(x) - 4g(x)] \), ta sẽ áp dụng các tính chất của giới hạn. Trước tiên, ta biết rằng: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = 4 \] \[ \lim_{x \to 1} g(x) = -3 \] Tuy nhiên, trong bài toán này, ta cần tìm giới hạn khi \( x \to 5 \). Do đó, ta giả sử rằng \( f(x) \) và \( g(x) \) đều liên tục tại điểm \( x = 5 \). Điều này có nghĩa là: \[ \lim_{x \to 5} f(x) = f(5) \] \[ \lim_{x \to 5} g(x) = g(5) \] Bây giờ, ta áp dụng tính chất của giới hạn để tìm giới hạn của biểu thức \( 3f(x) - 4g(x) \): \[ \lim_{x \to 5} [3f(x) - 4g(x)] = 3 \lim_{x \to 5} f(x) - 4 \lim_{x \to 5} g(x) \] Thay vào các giới hạn đã biết: \[ \lim_{x \to 5} [3f(x) - 4g(x)] = 3 \cdot f(5) - 4 \cdot g(5) \] Do đó, ta có: \[ \lim_{x \to 5} [3f(x) - 4g(x)] = 3 \cdot f(5) - 4 \cdot g(5) \] Vậy, đáp án cuối cùng là: \[ \boxed{3 \cdot f(5) - 4 \cdot g(5)} \] Câu 4: Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm I và J trên mặt phẳng (ABCD). - Vì E nằm trên SA và SE = 2EA, nên E chia đoạn SA thành tỷ lệ 2:1. Do đó, hình chiếu của E qua phép chiếu song song theo phương SO lên mặt phẳng (ABCD) sẽ là điểm I nằm trên đường thẳng SO kéo dài ra và chia đoạn SO thành tỷ lệ 2:1. Vậy I nằm trên SO và chia SO thành tỷ lệ 2:1. - Tương tự, vì F nằm trên SC và SF = FC, nên F chia đoạn SC thành tỷ lệ 1:1. Do đó, hình chiếu của F qua phép chiếu song song theo phương SO lên mặt phẳng (ABCD) sẽ là điểm J nằm trên đường thẳng SO kéo dài ra và chia đoạn SO thành tỷ lệ 1:1. Vậy J nằm trên SO và chia SO thành tỷ lệ 1:1. Bây giờ, ta tính tỉ số $\frac{OJ}{OI}$. - Vì I chia SO thành tỷ lệ 2:1, nên $\frac{OI}{OS} = \frac{1}{3}$. - Vì J chia SO thành tỷ lệ 1:1, nên $\frac{OJ}{OS} = \frac{1}{2}$. Từ đó, ta có: \[ \frac{OJ}{OI} = \frac{\frac{OJ}{OS}}{\frac{OI}{OS}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{1} = \frac{3}{2} \] Vậy tỉ số $\frac{OJ}{OI}$ là $\frac{3}{2}$. Đáp số: $\frac{3}{2}$. Câu 5: Để giải quyết bài toán về diện tích thiết diện, chúng ta cần biết thêm thông tin về hình học của vật thể và vị trí của mặt cắt. Dưới đây là một ví dụ cụ thể để minh họa cách giải quyết bài toán này. Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh S và song song với đáy ABCD cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B', C', D'. Tính diện tích thiết diện S.B'C'D'. Bước 1: Xác định hình dạng thiết diện - Vì mặt phẳng (P) song song với đáy ABCD và đi qua đỉnh S, nên thiết diện S.B'C'D' sẽ là một hình vuông (vì đáy ABCD là hình vuông). Bước 2: Tìm tỉ lệ giữa các đoạn thẳng - Mặt phẳng (P) song song với đáy ABCD, nên các tam giác SBB', SCC', SDD' đều là tam giác đồng dạng với các tam giác SAB, SAC, SAD tương ứng. - Do đó, ta có: \[ \frac{SB'}{SB} = \frac{SC'}{SC} = \frac{SD'}{SD} \] Bước 3: Tính diện tích thiết diện - Diện tích đáy ABCD là \(a^2\). - Vì thiết diện S.B'C'D' là hình vuông và diện tích của nó tỉ lệ với bình phương của cạnh đáy, ta có: \[ \text{Diện tích thiết diện S.B'C'D'} = \left(\frac{SB'}{SB}\right)^2 \times a^2 \] - Nếu ta biết thêm rằng \(SB' = \frac{1}{2}SB\) (ví dụ), thì diện tích thiết diện sẽ là: \[ \text{Diện tích thiết diện S.B'C'D'} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times a^2 = \frac{1}{4}a^2 \] Kết luận: Diện tích thiết diện S.B'C'D' là \(\frac{1}{4}a^2\). Lưu ý: Trên đây là một ví dụ cụ thể. Để giải quyết bài toán thực tế, bạn cần biết thêm thông tin về hình học của vật thể và vị trí của mặt cắt. Câu 6: Cấp số nhân lùi vô hạn là dãy số trong đó mỗi số hạng sau bằng số hạng trước nhân với một hằng số \( q \) (0 < |q| < 1). Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính bằng công thức: \[ S = \frac{a}{1 - q} \] Trong đó: - \( a \) là số hạng đầu tiên của cấp số nhân. - \( q \) là tỉ số chung của cấp số nhân. Bây giờ, chúng ta sẽ đi qua từng bước để hiểu rõ hơn về công thức này. 1. Xác định số hạng đầu tiên và tỉ số chung: Giả sử cấp số nhân lùi vô hạn bắt đầu từ số hạng \( a \) và tỉ số chung là \( q \). 2. Viết các số hạng của cấp số nhân: Các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn sẽ là: \[ a, aq, aq^2, aq^3, \ldots \] 3. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \( S \) được tính bằng công thức: \[ S = a + aq + aq^2 + aq^3 + \cdots \] 4. Nhân cả hai vế của phương trình với \( q \): \[ qS = aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + \cdots \] 5. Lấy phương trình ban đầu trừ đi phương trình đã nhân với \( q \): \[ S - qS = a \] \[ S(1 - q) = a \] 6. Giải phương trình để tìm \( S \): \[ S = \frac{a}{1 - q} \] Vậy, tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: \[ S = \frac{a}{1 - q} \] Đây là công thức tổng quát để tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, dựa trên số hạng đầu tiên \( a \) và tỉ số chung \( q \) (0 < |q| < 1).