help meeeeeeeeeeeee

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tìm giới hạn của phân thức đại số khi biến đến một giá trị hữu hạn. Trước hết, ta cần tìm điều kiện để phân thức có thể có giới hạn hữu hạn khi \( x \to 2 \). Điều này đòi hỏi tử số cũng phải bằng 0 khi \( x = 2 \). Tử số của phân thức là \( ax^2 + bx - 5 \). Ta thay \( x = 2 \) vào tử số: \[ a(2)^2 + b(2) - 5 = 0 \] \[ 4a + 2b - 5 = 0 \] \[ 4a + 2b = 5 \quad \text{(1)} \] Bây giờ, ta sẽ sử dụng giới hạn đã cho để tìm mối liên hệ giữa \( a \) và \( b \): \[ \lim_{x \to 2} \left( \frac{ax^2 + bx - 5}{x^2 - 4} \right) = \frac{7}{4} \] Ta thấy rằng mẫu số \( x^2 - 4 \) có thể phân tích thành \( (x - 2)(x + 2) \). Để phân thức có giới hạn hữu hạn khi \( x \to 2 \), tử số cũng phải có dạng \( (x - 2) \times \text{hàm số nào đó} \). Do đó, ta có thể viết lại tử số dưới dạng: \[ ax^2 + bx - 5 = (x - 2)(Ax + B) \] Thay \( x = 2 \) vào phương trình trên: \[ 4a + 2b - 5 = 0 \quad \text{(đã biết từ trước)} \] Bây giờ, ta sẽ tìm \( A \) và \( B \) bằng cách so sánh hệ số của \( x \) và hằng số trong hai vế: \[ ax^2 + bx - 5 = Ax^2 + (A + B)x - 2B \] So sánh hệ số của \( x^2 \): \[ a = A \] So sánh hệ số của \( x \): \[ b = A + B \] So sánh hằng số: \[ -5 = -2B \] \[ B = \frac{5}{2} \] Do đó: \[ b = A + \frac{5}{2} \] \[ b = a + \frac{5}{2} \] Thay vào phương trình (1): \[ 4a + 2(a + \frac{5}{2}) = 5 \] \[ 4a + 2a + 5 = 5 \] \[ 6a + 5 = 5 \] \[ 6a = 0 \] \[ a = 0 \] Thay \( a = 0 \) vào \( b = a + \frac{5}{2} \): \[ b = 0 + \frac{5}{2} \] \[ b = \frac{5}{2} \] Cuối cùng, ta tính \( a^2 + b^2 \): \[ a^2 + b^2 = 0^2 + \left( \frac{5}{2} \right)^2 = \frac{25}{4} \] Vậy đáp án là: \[ a^2 + b^2 = \frac{25}{4} \]