Tính giới hạn. Câu 21. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $2f(x)+f(1-x)=x^2+2x-1,\forall x\in\mathbb{R}.$ Tính,$\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x+2)-f(2)}x.$

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 21:
Để tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x+2)-f(2)}{x}$, chúng ta cần biết đạo hàm của hàm số $f(x)$ tại điểm $x=2$. Điều này yêu cầu chúng ta tìm biểu thức của $f(x)$.

Bước 1: Tìm biểu thức của $f(x)$

Ta có phương trình:
$$2f(x) + f(1-x) = x^2 + 2x - 1.$$

Thay $x$ bằng $1-x$ trong phương trình trên, ta được:
$$2f(1-x) + f(x) = (1-x)^2 + 2(1-x) - 1.$$

Phương trình này có thể viết lại thành:
$$2f(1-x) + f(x) = 1 - 2x + x^2 + 2 - 2x - 1 = x^2 - 4x + 2.$$

Bây giờ, ta có hệ phương trình:
$$
\begin{cases}
2f(x) + f(1-x) = x^2 + 2x - 1 \
2f(1-x) + f(x) = x^2 - 4x + 2
\end{cases}
$$

Nhân phương trình thứ nhất với 2:
$$
\begin{cases}
4f(x) + 2f(1-x) = 2x^2 + 4x - 2 \
2f(1-x) + f(x) = x^2 - 4x + 2
\end{cases}
$$

Trừ hai phương trình này:
$$4f(x) + 2f(1-x) - (2f(1-x) + f(x)) = 2x^2 + 4x - 2 - (x^2 - 4x + 2).$$
$$3f(x) = x^2 + 8x - 4.$$
$$f(x) = \frac{x^2 + 8x - 4}{3}.$$

Bước 2: Tính đạo hàm của $f(x)$ tại $x=2$

Đạo hàm của $f(x)$ là:
$$f&#x27;(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2 + 8x - 4}{3}\right) = \frac{2x + 8}{3}.$$

Tại $x=2$:
$$f&#x27;(2) = \frac{2(2) + 8}{3} = \frac{4 + 8}{3} = \frac{12}{3} = 4.$$

Bước 3: Tính giới hạn

Giới hạn $\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x+2)-f(2)}{x}$ chính là đạo hàm của $f(x)$ tại $x=2$:
$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x+2)-f(2)}{x} = f&#x27;(2) = 4.$$

Vậy, đáp án cuối cùng là:
$$
\boxed{4}
$$