Câu 18 nhé.

Câu 18: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x + y \) với điều kiện \( x^2 + y^2 = 1 \). Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Điều kiện xác định của \( x \) và \( y \) là \( x^2 + y^2 = 1 \). Vì \( x^2 \geq 0 \) và \( y^2 \geq 0 \), nên \( -1 \leq x \leq 1 \) và \( -1 \leq y \leq 1 \). Bước 2: Biến đổi biểu thức \( P \) - Ta có \( P = x + y \). Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \( P \) - Ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \( P \). Bước 4: Đặt \( f(x, y) = x + y \) và \( g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 \). - Ta sẽ sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để tìm cực trị của \( f(x, y) \) dưới ràng buộc \( g(x, y) = 0 \). Bước 5: Tính đạo hàm riêng của \( f(x, y) \) và \( g(x, y) \): - \( \frac{\partial f}{\partial x} = 1 \) - \( \frac{\partial f}{\partial y} = 1 \) - \( \frac{\partial g}{\partial x} = 2x \) - \( \frac{\partial g}{\partial y} = 2y \) Bước 6: Thiết lập hệ phương trình: \[ \nabla f = \lambda \nabla g \] \[ 1 = \lambda \cdot 2x \] \[ 1 = \lambda \cdot 2y \] Bước 7: Giải hệ phương trình: \[ 1 = \lambda \cdot 2x \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2x} \] \[ 1 = \lambda \cdot 2y \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2y} \] Do đó: \[ \frac{1}{2x} = \frac{1}{2y} \Rightarrow x = y \] Bước 8: Thay \( x = y \) vào điều kiện \( x^2 + y^2 = 1 \): \[ x^2 + x^2 = 1 \Rightarrow 2x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \] Bước 9: Tìm giá trị của \( P \) tại các điểm này: - Khi \( x = \frac{1}{\sqrt{2}} \) và \( y = \frac{1}{\sqrt{2}} \): \[ P = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \] - Khi \( x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \) và \( y = -\frac{1}{\sqrt{2}} \): \[ P = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \] Bước 10: Kết luận - Giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \sqrt{2} \), đạt được khi \( x = \frac{1}{\sqrt{2}} \) và \( y = \frac{1}{\sqrt{2}} \). - Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -\sqrt{2} \), đạt được khi \( x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \) và \( y = -\frac{1}{\sqrt{2}} \). Đáp số: - Giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \sqrt{2} \), đạt được khi \( x = \frac{1}{\sqrt{2}} \) và \( y = \frac{1}{\sqrt{2}} \). - Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -\sqrt{2} \), đạt được khi \( x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \) và \( y = -\frac{1}{\sqrt{2}} \). Câu 18: Các số hạng của cấp số cộng $(u_n)$ có dạng $3+2k$ với $k\geq 0.$ Các số hạng của cấp số cộng $(v_n)$ có dạng $2+3m$ với $m\geq 0.$ Một số thuộc cả hai dãy nếu nó có thể viết dưới dạng $3+2k=2+3m$ với $k,m\geq 0.$ Suy ra $2k-3m=-1.$ Ta thấy $k=m=1$ là nghiệm riêng của phương trình này. Từ đó suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là $k=3t+1, m=2t+1$ với $t\geq 0.$ Vậy các số thuộc cả hai dãy có dạng $3+2(3t+1)=9t+5.$ Số $9t+5$ thuộc 2024 số hạng đầu tiên của cấp số cộng $(u_n)$ khi và chỉ khi $9t+5\leq 3+2\times 2023,$ tức là $t\leq 449.$ Số $9t+5$ thuộc 2024 số hạng đầu tiên của cấp số cộng $(v_n)$ khi và chỉ khi $9t+5\leq 2+3\times 2023,$ tức là $t\leq 673.$ Do đó, các số thuộc cả hai dãy và thuộc 2024 số hạng đầu tiên của cả hai cấp số cộng đã cho là các số có dạng $9t+5$ với $0\leq t\leq 449.$ Vậy có tất cả 450 số thỏa mãn yêu cầu đề bài.