Vsvdvevevevev

Câu 5. Để tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x^2-3x+2}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định dạng không xác định: Khi thay $x = 2$ vào biểu thức, ta nhận thấy: $\sqrt{4(2)+1} - 3 = \sqrt{9} - 3 = 0$ $x^2 - 3x + 2 = 2^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ Do đó, giới hạn có dạng $\frac{0}{0}$, tức là dạng không xác định. Bước 2: Nhân lượng liên hợp ở tử số: Ta nhân cả tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp của tử số: $\lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x^2-3x+2} = \lim_{x\rightarrow2}\frac{(\sqrt{4x+1}-3)(\sqrt{4x+1}+3)}{(x^2-3x+2)(\sqrt{4x+1}+3)}$ Bước 3: Rút gọn biểu thức: Tử số trở thành: $(\sqrt{4x+1})^2 - 3^2 = 4x + 1 - 9 = 4x - 8$ Mẫu số giữ nguyên: $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$ Do đó, ta có: $\lim_{x\rightarrow2}\frac{4x-8}{(x-1)(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}$ Bước 4: Rút gọn biểu thức: $\lim_{x\rightarrow2}\frac{4(x-2)}{(x-1)(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)} = \lim_{x\rightarrow2}\frac{4}{(x-1)(\sqrt{4x+1}+3)}$ Bước 5: Thay $x = 2$ vào biểu thức đã rút gọn: $\lim_{x\rightarrow2}\frac{4}{(2-1)(\sqrt{4(2)+1}+3)} = \frac{4}{1 \cdot (\sqrt{9} + 3)} = \frac{4}{1 \cdot (3 + 3)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ Vậy $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$, suy ra $a = 2$ và $b = 3$. Do đó, $ab = 2 \times 3 = 6$. Đáp số: $ab = 6$. Câu 6. Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại điểm \( x_0 = 3 \), ta cần đảm bảo rằng: 1. \( f(3) \) tồn tại. 2. Giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 3 từ bên trái và bên phải đều tồn tại và bằng nhau. 3. Giới hạn này bằng giá trị của hàm số tại điểm đó, tức là \( \lim_{x \to 3} f(x) = f(3) \). Ta xét từng phần: 1. Giá trị của hàm số tại \( x = 3 \): - Khi \( x \leq 3 \), ta có \( f(x) = mx + 4 \). Do đó, \( f(3) = 3m + 4 \). 2. Giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 3 từ bên phải: - Khi \( x > 3 \), ta có \( f(x) = \frac{3x^2 - 10x + 3}{x^2 - 9} \). - Ta tính giới hạn: \[ \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} \frac{3x^2 - 10x + 3}{x^2 - 9} \] - Ta thấy rằng \( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \). Ta phân tích tử số: \[ 3x^2 - 10x + 3 = (3x - 1)(x - 3) \] - Do đó: \[ \lim_{x \to 3^+} \frac{(3x - 1)(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \lim_{x \to 3^+} \frac{3x - 1}{x + 3} = \frac{3 \cdot 3 - 1}{3 + 3} = \frac{9 - 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \] 3. Giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 3 từ bên trái: - Khi \( x \leq 3 \), ta có \( f(x) = mx + 4 \). - Ta tính giới hạn: \[ \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (mx + 4) = 3m + 4 \] 4. Yêu cầu liên tục tại \( x = 3 \): - Để hàm số liên tục tại \( x = 3 \), ta cần: \[ \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3) \] - Từ trên ta có: \[ \frac{4}{3} = 3m + 4 \] - Giải phương trình này để tìm \( m \): \[ 3m + 4 = \frac{4}{3} \] \[ 3m = \frac{4}{3} - 4 \] \[ 3m = \frac{4}{3} - \frac{12}{3} \] \[ 3m = \frac{-8}{3} \] \[ m = \frac{-8}{9} \] Vậy giá trị của \( m \) để hàm số liên tục tại \( x_0 = 3 \) là \( m = \frac{-8}{9} \). Câu 7. Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm M và N: - M là trung điểm của DD', tức là M nằm chính giữa đoạn thẳng DD'. - N là trung điểm của CD, tức là N nằm chính giữa đoạn thẳng CD. Tiếp theo, ta xác định mặt phẳng (MNA'): - Mặt phẳng (MNA') bao gồm các điểm M, N và A'. Ta cần tìm giao điểm I của đường thẳng AC với mặt phẳng (MNA'). Để làm điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian. Giả sử hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các đỉnh có tọa độ như sau: - A(0, 0, 0) - B(a, 0, 0) - C(a, b, 0) - D(0, b, 0) - A'(0, 0, c) - B'(a, 0, c) - C'(a, b, c) - D'(0, b, c) Tọa độ của các điểm M và N: - M là trung điểm của DD', nên M có tọa độ $\left(0, b, \frac{c}{2}\right)$. - N là trung điểm của CD, nên N có tọa độ $\left(\frac{a}{2}, b, 0\right)$. Phương trình đường thẳng AC: - Điểm A có tọa độ (0, 0, 0). - Điểm C có tọa độ (a, b, 0). Đường thẳng AC có vectơ phương là $\vec{AC} = (a, b, 0)$. Phương trình tham số của đường thẳng AC: \[ x = at \\ y = bt \\ z = 0 \] Phương trình mặt phẳng (MNA'): - Ta cần tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNA'). - Vectơ MA' = (0, 0, c) - (0, b, $\frac{c}{2}$) = (0, -b, $\frac{c}{2}$). - Vectơ NA' = (0, 0, c) - ($\frac{a}{2}$, b, 0) = (-$\frac{a}{2}$, -b, c). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNA') là: \[ \vec{n} = \vec{MA'} \times \vec{NA'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -b & \frac{c}{2} \\ -\frac{a}{2} & -b & c \end{vmatrix} = \left(-bc + \frac{bc}{2}\right)\vec{i} - \left(0 + \frac{ac}{4}\right)\vec{j} + \left(0 - \frac{ab}{2}\right)\vec{k} = \left(-\frac{bc}{2}\right)\vec{i} - \left(\frac{ac}{4}\right)\vec{j} - \left(\frac{ab}{2}\right)\vec{k} \] Phương trình mặt phẳng (MNA') là: \[ -\frac{bc}{2}(x - 0) - \frac{ac}{4}(y - 0) - \frac{ab}{2}(z - 0) = 0 \] \[ -\frac{bc}{2}x - \frac{ac}{4}y - \frac{ab}{2}z = 0 \] Thay phương trình tham số của đường thẳng AC vào phương trình mặt phẳng (MNA'): \[ -\frac{bc}{2}(at) - \frac{ac}{4}(bt) - \frac{ab}{2}(0) = 0 \] \[ -\frac{abc}{2}t - \frac{abc}{4}t = 0 \] \[ -\frac{3abc}{4}t = 0 \] \[ t = 0 \] Do đó, giao điểm I của đường thẳng AC với mặt phẳng (MNA') là điểm A, tức là t = 0. Tỉ số $\frac{IC}{IA}$ là: \[ \frac{IC}{IA} = \frac{C - I}{A - I} = \frac{C - A}{A - A} = \frac{(a, b, 0) - (0, 0, 0)}{(0, 0, 0) - (0, 0, 0)} = \frac{(a, b, 0)}{(0, 0, 0)} = \text{không xác định} \] Như vậy, tỉ số $\frac{IC}{IA}$ là 1. Đáp số: $\frac{IC}{IA} = 1$. Câu 8. Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm M, N, P trên các cạnh tương ứng: - Điểm M thuộc cạnh SA sao cho $MA = 3MS$. Điều này có nghĩa là M chia đoạn SA thành tỷ lệ 3:1 từ S đến A. - Điểm N là trung điểm của SC, tức là N chia SC thành hai phần bằng nhau. - Điểm P là trung điểm của BC, tức là P chia BC thành hai phần bằng nhau. Tiếp theo, ta xét mặt phẳng (MNP). Ta cần tìm giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (MNP). Ta sẽ sử dụng phương pháp chiếu hình học để tìm giao điểm K của đường thẳng AB với mặt phẳng (MNP): - Xét mặt phẳng (SAB) chứa đường thẳng AB và điểm S. - Mặt phẳng (MNP) cắt mặt phẳng (SAB) theo một đường thẳng. Ta cần tìm giao tuyến của hai mặt phẳng này. Do M thuộc SA và N thuộc SC, giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (SAB) sẽ đi qua điểm S và song song với đường thẳng NP trong mặt phẳng (SCB). Ta xét giao điểm của đường thẳng NP với đường thẳng SB. Vì N là trung điểm của SC và P là trung điểm của BC, nên NP song song với SB và chia SB thành hai phần bằng nhau. Giao điểm của đường thẳng NP với đường thẳng SB là điểm Q, và Q chia SB thành hai phần bằng nhau. Bây giờ, ta xét giao điểm của đường thẳng AB với đường thẳng SQ. Vì SQ song song với NP và chia SB thành hai phần bằng nhau, nên giao điểm của AB với SQ sẽ là điểm K. Ta cần tìm tỉ số $\frac{KA}{KB}$. Vì M chia SA thành tỷ lệ 3:1 từ S đến A, và Q chia SB thành hai phần bằng nhau, nên K sẽ chia AB theo tỷ lệ tương ứng. Ta có: - M chia SA thành tỷ lệ 3:1, tức là $\frac{SM}{MA} = \frac{1}{3}$. - Q chia SB thành hai phần bằng nhau, tức là $\frac{SQ}{QB} = 1$. Khi đó, giao điểm K của đường thẳng AB với đường thẳng SQ sẽ chia AB theo tỷ lệ tương ứng. Ta có: - $\frac{KA}{KB} = \frac{1}{3}$. Vậy tỉ số $\frac{KA}{KB}$ là $\frac{1}{3}$. Đáp số: $\frac{KA}{KB} = \frac{1}{3}$.