gújsbisbsishsj

Câu 13 1) So sánh: a) \(a + 2\) và \(b + 2\): - Vì \(a < b\), nên khi cộng thêm cùng một số vào cả hai vế, ta vẫn giữ được mối quan hệ so sánh ban đầu. - Do đó, \(a + 2 < b + 2\). b) \(-3a\) và \(-3b\): - Vì \(a < b\), khi nhân cả hai vế với một số âm (-3), mối quan hệ so sánh sẽ đảo ngược. - Do đó, \(-3a > -3b\). 2) Thực hiện phép tính: \(\sqrt[4]{27} - \sqrt{49} + \sqrt{2}\sqrt{8}\): - Ta có \(\sqrt[4]{27} = \sqrt{\sqrt{27}}\). - Ta có \(\sqrt{49} = 7\). - Ta có \(\sqrt{2}\sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4\). Do đó, phép tính trở thành: \[ \sqrt[4]{27} - 7 + 4 \] Tổng kết lại: a) \(a + 2 < b + 2\) b) \(-3a > -3b\) Phép tính: \(\sqrt[4]{27} - 7 + 4 = \sqrt[4]{27} - 3\) Đáp số: 1) a) \(a + 2 < b + 2\) b) \(-3a > -3b\) 2) \(\sqrt[4]{27} - 3\) Câu 14 a) $(2x+1)(5-x)=0$ Điều kiện xác định: Không có điều kiện xác định đặc biệt. Phương trình $(2x+1)(5-x)=0$ có dạng tích hai thừa số bằng 0, do đó ta có: \[ 2x + 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 5 - x = 0 \] Giải từng phương trình: \[ 2x + 1 = 0 \] \[ 2x = -1 \] \[ x = -\frac{1}{2} \] \[ 5 - x = 0 \] \[ x = 5 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = -\frac{1}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = 5 \] b) $2x(x-3)+2 \geq 8 + 2x^2$ Điều kiện xác định: Không có điều kiện xác định đặc biệt. Rút gọn và biến đổi bất phương trình: \[ 2x(x-3) + 2 \geq 8 + 2x^2 \] \[ 2x^2 - 6x + 2 \geq 8 + 2x^2 \] Trừ $2x^2$ từ cả hai vế: \[ -6x + 2 \geq 8 \] Trừ 2 từ cả hai vế: \[ -6x \geq 6 \] Chia cả hai vế cho -6 (nhớ đổi dấu bất đẳng thức): \[ x \leq -1 \] Vậy nghiệm của bất phương trình là: \[ x \leq -1 \] Câu 15 a) Rút gọn biểu thức \( A \): Điều kiện xác định: \( x \geq 0; x \neq 1 \). Ta có: \[ A = \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \] Quy đồng mẫu số: \[ A = \frac{(\sqrt{x} + 1) + (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ A = \frac{\sqrt{x} + 1 + \sqrt{x} - 1}{x - 1} \] \[ A = \frac{2\sqrt{x}}{x - 1} \] b) Tính giá trị của \( A \) tại \( x = 3 - 2\sqrt{2} \): Thay \( x = 3 - 2\sqrt{2} \) vào biểu thức đã rút gọn: \[ A = \frac{2\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}}{(3 - 2\sqrt{2}) - 1} \] \[ A = \frac{2\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}}{2 - 2\sqrt{2}} \] \[ A = \frac{2\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}}{2(1 - \sqrt{2})} \] \[ A = \frac{\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2}} \] Nhân cả tử và mẫu với \( 1 + \sqrt{2} \): \[ A = \frac{\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}(1 + \sqrt{2})}{(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})} \] \[ A = \frac{\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}(1 + \sqrt{2})}{1 - 2} \] \[ A = \frac{\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}(1 + \sqrt{2})}{-1} \] \[ A = -\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}(1 + \sqrt{2}) \] Tính \( \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} \): \[ 3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^2 \] \[ \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = |\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1 \] Do đó: \[ A = -(\sqrt{2} - 1)(1 + \sqrt{2}) \] \[ A = -(2 - 1) \] \[ A = -1 \] Đáp số: \( A = -1 \) Câu 16 Gọi vận tốc của anh Nam là \( x \) (km/h, điều kiện: \( x > 0 \)). Vì mỗi giờ xe anh An đi nhanh hơn xe anh Nam 5 km, nên vận tốc của anh An là \( x + 5 \) (km/h). Hai người gặp nhau sau khi đi được 1 giờ, tức là tổng quãng đường hai người đã đi được là 85 km. Do đó, ta có phương trình: \[ x \times 1 + (x + 5) \times 1 = 85 \] Giải phương trình này: \[ x + x + 5 = 85 \] \[ 2x + 5 = 85 \] \[ 2x = 85 - 5 \] \[ 2x = 80 \] \[ x = 40 \] Vậy vận tốc của anh Nam là 40 km/h, và vận tốc của anh An là: \[ x + 5 = 40 + 5 = 45 \text{ km/h} \] Đáp số: - Vận tốc của anh Nam: 40 km/h - Vận tốc của anh An: 45 km/h Câu 17 Để chứng minh rằng \( x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx \), ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi biểu thức và áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bước 1: Xét biểu thức \( x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \). Bước 2: Ta nhóm lại các hạng tử để tạo thành các bình phương: \[ x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = \frac{1}{2} \left( 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx \right) \] Bước 3: Ta nhận thấy rằng: \[ 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx = (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \] Bước 4: Vì các bình phương luôn không âm, ta có: \[ (x-y)^2 \geq 0, \quad (y-z)^2 \geq 0, \quad (z-x)^2 \geq 0 \] Do đó: \[ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \geq 0 \] Bước 5: Từ đây ta suy ra: \[ x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \geq 0 \] Bước 6: Kết luận: \[ x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx \] Vậy ta đã chứng minh được \( x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx \). Câu 18 Để tính $\cos B$, ta cần biết độ dài cạnh huyền $BC$ của tam giác vuông $ABC$. Ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras để tìm độ dài cạnh $BC$. Theo định lý Pythagoras: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ BC^2 = 7^2 + 24^2 \] \[ BC^2 = 49 + 576 \] \[ BC^2 = 625 \] Lấy căn bậc hai của cả hai vế: \[ BC = \sqrt{625} \] \[ BC = 25 \] Bây giờ, ta tính $\cos B$. Trong tam giác vuông, $\cos$ của một góc là tỉ số giữa độ dài cạnh kề với góc đó và độ dài cạnh huyền. \[ \cos B = \frac{AB}{BC} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \cos B = \frac{7}{25} \] Vậy, $\cos B = \frac{7}{25}$. Câu 19 Để tính độ cao so với chân dốc của vận động viên khi leo lên đỉnh dốc, ta sử dụng công thức liên quan đến độ nghiêng của dốc. Chiều dài con dốc là 100m và độ nghiêng là $20^0$. Ta sẽ sử dụng công thức tính độ cao dựa trên độ nghiêng và chiều dài dốc. Độ cao của dốc được tính bằng: \[ \text{Độ cao} = \text{Chiều dài dốc} \times \sin(20^0) \] Ta có: \[ \sin(20^0) \approx 0,342 \] Do đó: \[ \text{Độ cao} = 100 \times 0,342 = 34,2 \text{m} \] Vậy độ cao so với chân dốc của vận động viên khi leo lên đỉnh dốc là 34,2m (làm tròn đến số thập phân thứ nhất). Câu 20 a) Tính độ dài đường tròn (O) và diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB - Độ dài đường tròn (O) là: \[ C = 2 \pi r = 2 \times 3,14 \times 3 = 18,84 \text{ cm} \] - Diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB: \[ S_{quạt} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 3,14 \times 3^2 = \frac{1}{3} \times 3,14 \times 9 = 9,42 \text{ cm}^2 \] b) Chứng minh rằng SB là một tiếp tuyến của (O) - Xét tam giác OAB, ta có: \[ OA = OB = 3 \text{ cm} \] \[ \widehat{AOB} = 120^\circ \] - Vì tam giác OAB cân tại O nên: \[ \widehat{OAB} = \widehat{OBA} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ \] - Đường thẳng OS vuông góc với AB tại điểm H, do đó: \[ \widehat{OHA} = 90^\circ \] - Xét tam giác OAS, ta có: \[ \widehat{OAS} = 90^\circ \] (vì SA là tiếp tuyến của đường tròn (O)) - Ta cần chứng minh SB là tiếp tuyến của (O). Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng \(\widehat{OSB} = 90^\circ\). - Xét tam giác OHS, ta có: \[ \widehat{OHS} = 90^\circ \] - Vì OS vuông góc với AB, nên: \[ \widehat{OHB} = 90^\circ \] - Xét tam giác OHB, ta có: \[ \widehat{OBH} = 30^\circ \] - Do đó: \[ \widehat{OBS} = 90^\circ - \widehat{OBH} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] - Xét tam giác OBS, ta có: \[ \widehat{OSB} = 180^\circ - (\widehat{OBS} + \widehat{BOH}) = 180^\circ - (60^\circ + 30^\circ) = 90^\circ \] - Vậy \(\widehat{OSB} = 90^\circ\), do đó SB là tiếp tuyến của đường tròn (O). Đáp số: a) Độ dài đường tròn (O): 18,84 cm Diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB: 9,42 cm² b) SB là tiếp tuyến của (O).