Cho AB là một dây không đi qua tâm của đường tròn ( O; R ) đường thẳng qua O và vuông góc với AB tại H cắt tiếp tuyến tại a của đường tròn ( O )ở điểm C A/ chứng minh rằng CB là một tiếp tuyến của đườ...

A/ Chứng minh rằng CB là một tiếp tuyến của đường tròn (O): - Ta có OA = OB = R (vì cả hai đều là bán kính của đường tròn (O)). - OH vuông góc với AB tại H, do đó OH là đường cao hạ từ O xuống AB. - Vì OH là đường cao hạ từ tâm O xuống dây AB, nên OH cũng là đường phân chia AB thành hai phần bằng nhau, tức là AH = HB. - Xét tam giác OAC và OBC: - OA = OB (cả hai đều là bán kính của đường tròn (O)). - OC chung. - Góc OAC = góc OBC = 90° (vì AC và BC là tiếp tuyến của đường tròn (O)). - Do đó, tam giác OAC và OBC là hai tam giác vuông cân tại O, suy ra AC = BC. - Vậy CB là tiếp tuyến của đường tròn (O). B/ Tính diện tích phần viền giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB: - Ta có R = 6 cm và OH = 3 cm. - Trong tam giác OHA vuông tại H, ta có: \[ HA = \sqrt{OA^2 - OH^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ cm} \] - Vì H là trung điểm của AB, nên AB = 2 × HA = 2 × 3√3 = 6√3 cm. - Góc AOB là góc ở tâm chắn cung AB, ta có: \[ \cos(\angle AOH) = \frac{OH}{OA} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] Suy ra \(\angle AOH = 60^\circ\), do đó \(\angle AOB = 2 \times 60^\circ = 120^\circ\). - Diện tích hình quạt OAB là: \[ S_{quạt} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi \times R^2 = \frac{1}{3} \times \pi \times 6^2 = \frac{1}{3} \times 36\pi = 12\pi \text{ cm}^2 \] - Diện tích tam giác OAB là: \[ S_{tam giác} = \frac{1}{2} \times OA \times OB \times \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2 \] - Diện tích phần viền giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB là: \[ S_{phần viền} = S_{quạt} - S_{tam giác} = 12\pi - 9\sqrt{3} \text{ cm}^2 \] Đáp số: Diện tích phần viền giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB là \(12\pi - 9\sqrt{3} \text{ cm}^2\).