giup minhh

Câu 1. Để tìm tọa độ của $\overrightarrow a - \overrightarrow b$, ta thực hiện phép trừ từng thành phần tương ứng của hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$. Tọa độ của $\overrightarrow a$ là $(2, -1, 0)$ và tọa độ của $\overrightarrow b$ là $(1, 1, -3)$. Ta có: \[ \overrightarrow a - \overrightarrow b = (2 - 1, -1 - 1, 0 - (-3)) = (1, -2, 3) \] Vậy tọa độ của $\overrightarrow a - \overrightarrow b$ là $(1, -2, 3)$. Do đó, đáp án đúng là: C. $(1, -2, 3)$ Câu 2. Để tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 - 3x + 4}{x - 2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số \( y = \frac{x^2 - 3x + 4}{x - 2} \) có nghĩa là \( x \neq 2 \). 2. Tìm đường tiệm cận đứng: Đường tiệm cận đứng của hàm số \( y = \frac{P(x)}{Q(x)} \) là các giá trị \( x \) làm cho mẫu số \( Q(x) = 0 \). Trong trường hợp này, mẫu số là \( x - 2 \), do đó: \[ x - 2 = 0 \implies x = 2 \] Vậy đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \( x = 2 \). 3. Kiểm tra đáp án: Các đáp án được đưa ra là: A. \( y = 1 \) B. \( y = 2 \) C. \( x = 2 \) D. \( x = 1 \) Đáp án đúng là C. \( x = 2 \). Đáp án: C. \( x = 2 \). Câu 3. Để tìm giá trị của \( M - m \), chúng ta cần xác định giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-1; 3]\). Dựa vào bảng biến thiên của hàm số: - Trên đoạn \([-1; 3]\), giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) là \( M = 5 \), đạt được tại \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = f(x) \) là \( m = 0 \), đạt được tại \( x = -1 \) và \( x = 3 \). Do đó, giá trị của \( M - m \) là: \[ M - m = 5 - 0 = 5 \] Vậy đáp án đúng là: C. \( M - m = 5 \). Câu 4. Để xác định đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho và so sánh với các đặc điểm của đồ thị. A. \( y = -x^3 + 3x^2 - 4 \) B. \( y = -x^2 - 4 \) C. \( y = x^3 - 4 \) D. \( y = x^2 - 4 \) Trước tiên, chúng ta cần nhận biết các đặc điểm của đồ thị: - Đồ thị có dạng cong và có một điểm cực đại hoặc cực tiểu. - Đồ thị cắt trục y tại điểm (0, -4). Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số: 1. Hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 - 4 \): - Khi \( x = 0 \), \( y = -4 \). Đồ thị cắt trục y tại điểm (0, -4). - Đây là hàm bậc ba, có thể có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Tuy nhiên, đồ thị của nó sẽ có dạng cong xuống ở hai đầu, không phù hợp với đồ thị trong hình. 2. Hàm số \( y = -x^2 - 4 \): - Khi \( x = 0 \), \( y = -4 \). Đồ thị cắt trục y tại điểm (0, -4). - Đây là hàm bậc hai, đồ thị là một parabol mở xuống. Đồ thị này không phù hợp vì nó không có dạng cong lên ở giữa như trong hình. 3. Hàm số \( y = x^3 - 4 \): - Khi \( x = 0 \), \( y = -4 \). Đồ thị cắt trục y tại điểm (0, -4). - Đây là hàm bậc ba, đồ thị có dạng cong lên ở hai đầu và có một điểm cực tiểu. Đồ thị này phù hợp với đồ thị trong hình. 4. Hàm số \( y = x^2 - 4 \): - Khi \( x = 0 \), \( y = -4 \). Đồ thị cắt trục y tại điểm (0, -4). - Đây là hàm bậc hai, đồ thị là một parabol mở lên. Đồ thị này không phù hợp vì nó không có dạng cong xuống ở giữa như trong hình. Từ các phân tích trên, chúng ta thấy rằng hàm số \( y = x^3 - 4 \) là hàm số phù hợp với đồ thị trong hình. Vậy đáp án đúng là: C. \( y = x^3 - 4 \) Câu 5. Khoảng biên thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dải dữ liệu. Trong bảng thống kê của Dũng: - Giá trị nhỏ nhất là 8 giây (thuộc nhóm [8,10)). - Giá trị lớn nhất là 18 giây (thuộc nhóm [16,18)). Khoảng biên thiên được tính như sau: \[ Khoảng biên thiên = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất \] \[ Khoảng biên thiên = 18 - 8 = 10 \] Vậy, khoảng biên thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 10. Đáp án đúng là: B. 10. Câu 6. Để tìm giá trị cực đại của hàm số bậc ba \( y = f(x) \) từ đồ thị, chúng ta cần quan sát điểm cực đại trên đồ thị. Điểm cực đại là điểm mà tại đó giá trị của hàm số đạt giá trị lớn nhất trong một khoảng lân cận của nó. Trên đồ thị, ta thấy rằng hàm số đạt giá trị cực đại tại điểm có tọa độ \( (x, y) \). Qua việc quan sát, ta nhận thấy rằng giá trị cực đại của hàm số là 3, xảy ra tại điểm \( x = 1 \). Do đó, giá trị cực đại của hàm số là 3. Đáp án đúng là: B. 3. Câu 7. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta thực hiện phép trừ tọa độ của điểm A từ tọa độ của điểm B. Tọa độ của điểm A là $(1, 1, -2)$ và tọa độ của điểm B là $(2, 2, 1)$. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z) \] Thay tọa độ của A và B vào công thức trên: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 1, 2 - 1, 1 - (-2)) \] \[ \overrightarrow{AB} = (1, 1, 3) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $(1, 1, 3)$. Do đó, đáp án đúng là: D. $(1, 1, 3)$. Câu 8. Trong không gian, cho hình hộp ABCD A'B'C'D'. Vector đối của vector $\overrightarrow{AA^\prime}$ là: A. $\overrightarrow{BB^\prime}.$ B. $\overrightarrow{BA^\prime}.$ C. $\overrightarrow{C^\prime C}.$ D. $\overrightarrow{A^\prime C^\prime}.$. Để tìm vector đối của $\overrightarrow{AA^\prime}$, ta cần tìm một vector có cùng độ dài nhưng ngược chiều với $\overrightarrow{AA^\prime}$. - Vector $\overrightarrow{AA^\prime}$ đi từ điểm A lên điểm A'. - Vector $\overrightarrow{C^\prime C}$ đi từ điểm C' xuống điểm C, ngược chiều với $\overrightarrow{AA^\prime}$ và có cùng độ dài. Do đó, vector đối của $\overrightarrow{AA^\prime}$ là $\overrightarrow{C^\prime C}$. Vậy đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{C^\prime C}$. Câu 9. Để tìm tọa độ của điểm \(B\) và \(C\), ta sử dụng tọa độ của điểm \(A\) và các vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\). Tọa độ của điểm \(B\) là: \[ B = A + \overrightarrow{AB} = (2, 4, -3) + (-3, -1, 1) = (2 - 3, 4 - 1, -3 + 1) = (-1, 3, -2) \] Tọa độ của điểm \(C\) là: \[ C = A + \overrightarrow{AC} = (2, 4, -3) + (2, -6, 6) = (2 + 2, 4 - 6, -3 + 6) = (4, -2, 3) \] Tiếp theo, ta tính tọa độ của trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\). Trọng tâm \(G\) của tam giác có tọa độ trung bình cộng của tọa độ các đỉnh của tam giác: \[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right) \] Thay tọa độ của các điểm \(A\), \(B\), và \(C\) vào công thức trên: \[ G = \left( \frac{2 + (-1) + 4}{3}, \frac{4 + 3 + (-2)}{3}, \frac{-3 + (-2) + 3}{3} \right) \] \[ G = \left( \frac{5}{3}, \frac{5}{3}, \frac{-2}{3} \right) \] Vậy tọa độ của trọng tâm \(G\) là: \[ G \left( \frac{5}{3}, \frac{5}{3}, -\frac{2}{3} \right) \] Do đó, đáp án đúng là: D. \( G \left( \frac{5}{3}, \frac{5}{3}, -\frac{2}{3} \right) \) Câu 10. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x + \frac{2}{x} - (1 + \sqrt{2})^2 \) trên khoảng \( (0; +\infty) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}\left( x + \frac{2}{x} - (1 + \sqrt{2})^2 \right) \] \[ y' = 1 - \frac{2}{x^2} \] 2. Tìm điểm cực trị: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ 1 - \frac{2}{x^2} = 0 \] \[ \frac{2}{x^2} = 1 \] \[ x^2 = 2 \] \[ x = \sqrt{2} \quad (\text{vì } x > 0) \] 3. Kiểm tra tính chất của điểm cực trị: Để kiểm tra tính chất của điểm cực trị, chúng ta có thể sử dụng đạo hàm thứ hai: \[ y'' = \frac{d}{dx}\left( 1 - \frac{2}{x^2} \right) \] \[ y'' = \frac{4}{x^3} \] Tại \( x = \sqrt{2} \): \[ y''(\sqrt{2}) = \frac{4}{(\sqrt{2})^3} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} > 0 \] Vì \( y''(\sqrt{2}) > 0 \), nên \( x = \sqrt{2} \) là điểm cực tiểu. 4. Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu: \[ y(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} - (1 + \sqrt{2})^2 \] \[ y(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{2} - (1 + 2\sqrt{2} + 2) \] \[ y(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - (3 + 2\sqrt{2}) \] \[ y(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 3 - 2\sqrt{2} \] \[ y(\sqrt{2}) = -3 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x + \frac{2}{x} - (1 + \sqrt{2})^2 \) trên khoảng \( (0; +\infty) \) là \(-3\). Đáp án đúng là: B. -3. Câu 11. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định các thông tin từ đồ thị của hàm số \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \). 1. Xác định đường tiệm cận đứng: - Đường tiệm cận đứng của hàm số \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \) là \( x = -\frac{d}{c} \). - Từ đồ thị, ta thấy đường tiệm cận đứng là \( x = 2 \). Do đó, ta có: \[ -\frac{d}{c} = 2 \implies d = -2c \] 2. Xác định đường tiệm cận ngang: - Đường tiệm cận ngang của hàm số \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \) là \( y = \frac{a}{c} \). - Từ đồ thị, ta thấy đường tiệm cận ngang là \( y = 1 \). Do đó, ta có: \[ \frac{a}{c} = 1 \implies a = c \] 3. Xác định điểm giao với trục Oy: - Điểm giao của đồ thị với trục Oy là \( y = \frac{b}{d} \). - Từ đồ thị, ta thấy điểm giao với trục Oy là \( y = -1 \). Do đó, ta có: \[ \frac{b}{d} = -1 \implies b = -d \] - Thay \( d = -2c \) vào, ta có: \[ b = -(-2c) = 2c \] 4. Tính giá trị biểu thức \( T = \frac{a - 2b + 3d}{c} \): - Ta đã biết \( a = c \), \( b = 2c \), và \( d = -2c \). - Thay các giá trị này vào biểu thức \( T \): \[ T = \frac{a - 2b + 3d}{c} = \frac{c - 2(2c) + 3(-2c)}{c} \] \[ T = \frac{c - 4c - 6c}{c} = \frac{-9c}{c} = -9 \] Do đó, giá trị của biểu thức \( T \) là \(-9\). Đáp án đúng là: D. -8. Câu 12. Để tính phương sai của dữ liệu, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng (mean) của dữ liệu: - Đầu tiên, ta tính trọng số trung tâm của mỗi khoảng: - Khoảng [2,7; 3,0): Trọng số trung tâm là $\frac{2,7 + 3,0}{2} = 2,85$ - Khoảng [3,0; 3,3): Trọng số trung tâm là $\frac{3,0 + 3,3}{2} = 3,15$ - Khoảng [3,3; 3,6): Trọng số trung tâm là $\frac{3,3 + 3,6}{2} = 3,45$ - Khoảng [3,6; 3,9): Trọng số trung tâm là $\frac{3,6 + 3,9}{2} = 3,75$ - Khoảng [3,9; 4,2): Trọng số trung tâm là $\frac{3,9 + 4,2}{2} = 4,05$ - Tiếp theo, ta nhân trọng số trung tâm với số ngày tương ứng: - $2,85 \times 3 = 8,55$ - $3,15 \times 6 = 18,9$ - $3,45 \times 5 = 17,25$ - $3,75 \times 4 = 15$ - $4,05 \times 2 = 8,1$ - Tính tổng các giá trị này: $8,55 + 18,9 + 17,25 + 15 + 8,1 = 77,8$ - Số lượng mẫu là 20 ngày, nên trung bình cộng là: $\bar{x} = \frac{77,8}{20} = 3,89$ 2. Tính phương sai: - Phương sai được tính bằng công thức: $s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2$ Trong đó, $f_i$ là số lượng mẫu trong mỗi khoảng, $x_i$ là trọng số trung tâm của mỗi khoảng, và $\bar{x}$ là trung bình cộng. - Ta tính $(x_i - \bar{x})^2$ cho mỗi khoảng: - $(2,85 - 3,89)^2 = (-1,04)^2 = 1,0816$ - $(3,15 - 3,89)^2 = (-0,74)^2 = 0,5476$ - $(3,45 - 3,89)^2 = (-0,44)^2 = 0,1936$ - $(3,75 - 3,89)^2 = (-0,14)^2 = 0,0196$ - $(4,05 - 3,89)^2 = (0,16)^2 = 0,0256$ - Nhân các giá trị này với số ngày tương ứng: - $3 \times 1,0816 = 3,2448$ - $6 \times 0,5476 = 3,2856$ - $5 \times 0,1936 = 0,968$ - $4 \times 0,0196 = 0,0784$ - $2 \times 0,0256 = 0,0512$ - Tính tổng các giá trị này: $3,2448 + 3,2856 + 0,968 + 0,0784 + 0,0512 = 7,628$ - Cuối cùng, chia tổng này cho số lượng mẫu: $s^2 = \frac{7,628}{20} = 0,3814$ Do đó, giá trị của phương sai là 0,3814. Đáp án đúng là D. 0,36 (gần đúng). Câu 1. a) Đồ thị (C) đi qua gốc tọa độ. Do đồ thị (C) đi qua gốc tọa độ nên ta có: $f(0) = d = 0$ Suy ra: $d = 0$. b) Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên $(-1;3)$. Ta có: $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên $(-1;3)$ nên ta có: $f'(-1) = 3a - 2b + c = 0$ $f'(3) = 27a + 6b + c = 0$ Suy ra: $\left\{\begin{array}{l} 3a - 2b + c = 0 \\ 27a + 6b + c = 0 \end{array}\right.$ Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất, ta được: $24a + 8b = 0$ Suy ra: $b = -3a$ Thay vào phương trình $3a - 2b + c = 0$, ta được: $3a + 6a + c = 0$ Suy ra: $c = -9a$ Vậy $b = -3a$ và $c = -9a$.