Cho hình vuông ABCD .Trên cạnh AB và BC lấy 2 điểm E và F sao cho EF = AE + CF. Dựng hình chữ nhật EBFG .Gọi M là giao điểm của AC và EG , N là giao điểm của DE va FG. Gọi P là hình chiếu của M trên AD...

Để chứng minh rằng \(NP \parallel AC\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Hình vuông \(ABCD\) có các đỉnh \(A, B, C, D\). - Điểm \(E\) trên cạnh \(AB\) và điểm \(F\) trên cạnh \(BC\) sao cho \(EF = AE + CF\). - Dựng hình chữ nhật \(EBFG\) với \(G\) là đỉnh còn lại. - Gọi \(M\) là giao điểm của \(AC\) và \(EG\). - Gọi \(N\) là giao điểm của \(DE\) và \(FG\). - Gọi \(P\) là hình chiếu của \(M\) trên \(AD\). 2. Chứng minh \(M\) là trung điểm của \(EG\): - Vì \(EBFG\) là hình chữ nhật, nên \(EG\) là đường chéo của hình chữ nhật này. - Trong hình chữ nhật, đường chéo cắt đôi nhau, do đó \(M\) là trung điểm của \(EG\). 3. Chứng minh \(N\) là trung điểm của \(FG\): - Xét tam giác \(DEG\), ta thấy \(DE\) và \(FG\) là hai đường thẳng cắt nhau tại \(N\). - Vì \(EF = AE + CF\) và \(AE = CF\) (do \(E\) và \(F\) nằm trên các cạnh vuông góc của hình vuông), nên \(EF\) là đường thẳng đi qua trung điểm của \(EG\). - Do đó, \(N\) là trung điểm của \(FG\). 4. Chứng minh \(NP \parallel AC\): - Vì \(M\) là trung điểm của \(EG\) và \(N\) là trung điểm của \(FG\), nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(DEG\). - Đường trung bình của tam giác song song với đáy của tam giác đó, do đó \(MN \parallel DG\). - Vì \(DG\) song song với \(AC\) (do \(ABCD\) là hình vuông), nên \(MN \parallel AC\). - \(P\) là hình chiếu của \(M\) trên \(AD\), do đó \(MP \perp AD\). - Kết hợp với \(MN \parallel AC\), ta có \(NP \parallel AC\). Vậy, ta đã chứng minh được \(NP \parallel AC\).