Giải giá trị biểu thức

Để giải biểu thức $\sqrt{(2+\sqrt{5})^2} + \sqrt{21 - 8\sqrt{5}}$, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: 1. Tính $\sqrt{(2+\sqrt{5})^2}$: Ta có: \[ \sqrt{(2+\sqrt{5})^2} = |2 + \sqrt{5}| \] Vì $2 + \sqrt{5}$ là số dương, nên: \[ |2 + \sqrt{5}| = 2 + \sqrt{5} \] 2. Tính $\sqrt{21 - 8\sqrt{5}}$: Ta cần tìm hai số $a$ và $b$ sao cho: \[ 21 - 8\sqrt{5} = (a - b\sqrt{5})^2 \] Ta mở rộng: \[ (a - b\sqrt{5})^2 = a^2 - 2ab\sqrt{5} + 5b^2 \] So sánh với $21 - 8\sqrt{5}$, ta có: \[ a^2 + 5b^2 = 21 \quad \text{và} \quad -2ab = -8 \] Từ $-2ab = -8$, ta có: \[ ab = 4 \] Thử các giá trị $a$ và $b$ thỏa mãn $ab = 4$ và $a^2 + 5b^2 = 21$: - Nếu $a = 4$ và $b = 1$, ta có: \[ 4^2 + 5 \cdot 1^2 = 16 + 5 = 21 \] Vậy $a = 4$ và $b = 1$ thỏa mãn. Do đó: \[ 21 - 8\sqrt{5} = (4 - \sqrt{5})^2 \] Suy ra: \[ \sqrt{21 - 8\sqrt{5}} = |4 - \sqrt{5}| \] Vì $4 - \sqrt{5}$ là số dương, nên: \[ |4 - \sqrt{5}| = 4 - \sqrt{5} \] 3. Tính tổng biểu thức: \[ \sqrt{(2+\sqrt{5})^2} + \sqrt{21 - 8\sqrt{5}} = (2 + \sqrt{5}) + (4 - \sqrt{5}) \] Kết hợp các hạng tử: \[ (2 + \sqrt{5}) + (4 - \sqrt{5}) = 2 + 4 + \sqrt{5} - \sqrt{5} = 6 \] Vậy giá trị của biểu thức là: \[ \boxed{6} \]