Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD=MA. Gọi E là điểm đối xứng của A qua B. EM cắt D tại K a, chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ...

a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật - Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC. - Xét tam giác ABM và tam giác ACM: + AM chung + BM = MC (vì M là trung điểm của BC) + $\widehat{BAM} = \widehat{CAM}$ (góc đỉnh chung) Do đó, tam giác ABM và tam giác ACM bằng nhau (cạnh - góc - cạnh). - Từ đó ta có AB = AC và $\widehat{AMB} = \widehat{AMC}$. - Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{BAC} = 90^\circ$. - Do đó, $\widehat{AMB} + \widehat{AMC} = 180^\circ$, suy ra $\widehat{AMB} = \widehat{AMC} = 90^\circ$. - Vì MD = MA và M là trung điểm của BC nên MD = MA = MB = MC. - Xét tam giác AMD và tam giác AMC: + MD = MA (theo đề bài) + AM chung + $\widehat{AMD} = \widehat{AMC} = 90^\circ$ Do đó, tam giác AMD và tam giác AMC bằng nhau (cạnh - góc - cạnh). - Từ đó ta có AD = AC và $\widehat{DAM} = \widehat{CAM}$. - Vì $\widehat{DAM} = \widehat{CAM}$ và $\widehat{BAM} = \widehat{CAM}$ nên $\widehat{DAM} = \widehat{BAM}$. - Do đó, $\widehat{BAD} = 90^\circ$. - Vậy tứ giác ABDC là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông). b) Chứng minh EK = 2KM - Vì E là điểm đối xứng của A qua B nên BE = BA và $\widehat{EBA} = 90^\circ$. - Xét tam giác EBM và tam giác ABM: + BE = BA (theo đề bài) + BM chung + $\widehat{EBM} = \widehat{ABM} = 90^\circ$ Do đó, tam giác EBM và tam giác ABM bằng nhau (cạnh - góc - cạnh). - Từ đó ta có EM = AM và $\widehat{EMB} = \widehat{AMB}$. - Vì $\widehat{EMB} = \widehat{AMB}$ và $\widehat{AMB} = 90^\circ$ nên $\widehat{EMB} = 90^\circ$. - Xét tam giác EMD và tam giác AMD: + EM = AM (chứng minh trên) + MD = MA (theo đề bài) + $\widehat{EMD} = \widehat{AMD} = 90^\circ$ Do đó, tam giác EMD và tam giác AMD bằng nhau (cạnh - góc - cạnh). - Từ đó ta có ED = AD và $\widehat{DEM} = \widehat{ADM}$. - Vì $\widehat{DEM} = \widehat{ADM}$ và $\widehat{ADM} = 90^\circ$ nên $\widehat{DEM} = 90^\circ$. - Xét tam giác EKM và tam giác MKD: + EM = AM (chứng minh trên) + MD = MA (theo đề bài) + $\widehat{EMK} = \widehat{DMK} = 90^\circ$ Do đó, tam giác EKM và tam giác MKD bằng nhau (cạnh - góc - cạnh). - Từ đó ta có EK = KD và KM chung. - Vì EK = KD và KM chung nên EK = 2KM. Đáp số: EK = 2KM.