Bbcdghjkkj

Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết giá trị lượng giác cụ thể và biểu thức lượng giác cần tính. Dưới đây là một ví dụ về cách giải quyết bài toán này: Ví dụ: Cho $\sin x = \frac{3}{5}$. Tính giá trị của biểu thức $A = \cos^2 x + 2\sin x \cos x$. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Biểu thức $A = \cos^2 x + 2\sin x \cos x$ không chứa phân thức, căn thức, logarit nên không cần kiểm tra ĐKXĐ. Bước 2: Tìm giá trị của $\cos x$ - Ta biết rằng $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. - Thay $\sin x = \frac{3}{5}$ vào công thức trên: \[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 x = 1 \] \[ \frac{9}{25} + \cos^2 x = 1 \] \[ \cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 x = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 x = \frac{16}{25} \] \[ \cos x = \pm \frac{4}{5} \] Bước 3: Thay giá trị của $\sin x$ và $\cos x$ vào biểu thức $A$ - Ta có hai trường hợp: 1. Nếu $\cos x = \frac{4}{5}$: \[ A = \left(\frac{4}{5}\right)^2 + 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} \] \[ A = \frac{16}{25} + 2 \cdot \frac{12}{25} \] \[ A = \frac{16}{25} + \frac{24}{25} \] \[ A = \frac{40}{25} \] \[ A = \frac{8}{5} \] 2. Nếu $\cos x = -\frac{4}{5}$: \[ A = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 + 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) \] \[ A = \frac{16}{25} + 2 \cdot \left(-\frac{12}{25}\right) \] \[ A = \frac{16}{25} - \frac{24}{25} \] \[ A = -\frac{8}{25} \] Kết luận: Giá trị của biểu thức $A$ là $\frac{8}{5}$ hoặc $-\frac{8}{25}$. Đáp số: $A = \frac{8}{5}$ hoặc $A = -\frac{8}{25}$. Câu 1. 1. Cho $\cos x = \frac{1}{2}$. Tính giá trị biểu thức $P = 3\sin^2 x + 4\cos^2 x$. Ta biết rằng $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, do đó: \[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] Thay vào biểu thức $P$: \[ P = 3\sin^2 x + 4\cos^2 x = 3 \cdot \frac{3}{4} + 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} + 4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4} \] 2. Cho $\cot \alpha = \frac{1}{3}$. Tính giá trị của biểu thức $A = \frac{3\sin \alpha + 4\cos \alpha}{2\sin \alpha - 5\cos \alpha}$. Biết rằng $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{3}$, ta có $\cos \alpha = \frac{1}{3} \sin \alpha$. Thay vào biểu thức $A$: \[ A = \frac{3\sin \alpha + 4 \cdot \frac{1}{3} \sin \alpha}{2\sin \alpha - 5 \cdot \frac{1}{3} \sin \alpha} = \frac{3\sin \alpha + \frac{4}{3} \sin \alpha}{2\sin \alpha - \frac{5}{3} \sin \alpha} = \frac{\frac{9}{3} \sin \alpha + \frac{4}{3} \sin \alpha}{\frac{6}{3} \sin \alpha - \frac{5}{3} \sin \alpha} = \frac{\frac{13}{3} \sin \alpha}{\frac{1}{3} \sin \alpha} = 13 \] 3. Cho $\cos \alpha = \frac{3}{4}$. Tính giá trị của biểu thức $B = \frac{\tan \alpha + 3\cos \alpha}{\tan \alpha + \cos \alpha}$. Ta biết rằng $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, do đó: \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} \] \[ \sin \alpha = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \] \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{3} \] Thay vào biểu thức $B$: \[ B = \frac{\frac{\sqrt{7}}{3} + 3 \cdot \frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{3}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{9}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{3}{4}} = \frac{\frac{4\sqrt{7} + 27}{12}}{\frac{4\sqrt{7} + 9}{12}} = \frac{4\sqrt{7} + 27}{4\sqrt{7} + 9} \] 4. Cho $\tan \alpha = \sqrt{2}$. Tính giá trị của biểu thức $C = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin^2 \alpha + 3\cos^2 \alpha + 2\sin \alpha}$. Ta biết rằng $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \sqrt{2}$, do đó $\sin \alpha = \sqrt{2} \cos \alpha$. Thay vào biểu thức $C$: \[ C = \frac{\sqrt{2} \cos \alpha - \cos \alpha}{(\sqrt{2} \cos \alpha)^2 + 3\cos^2 \alpha + 2\sqrt{2} \cos \alpha} = \frac{\cos \alpha (\sqrt{2} - 1)}{2\cos^2 \alpha + 3\cos^2 \alpha + 2\sqrt{2} \cos \alpha} = \frac{\cos \alpha (\sqrt{2} - 1)}{5\cos^2 \alpha + 2\sqrt{2} \cos \alpha} \] \[ C = \frac{\sqrt{2} - 1}{5\cos \alpha + 2\sqrt{2}} \] 5. Cho hai góc nhọn $\alpha$ và $\beta$. Biết $\cos \alpha = \frac{1}{3}$ và $\cos \beta = \frac{1}{4}$. Tính: $P = (\cos \alpha \cdot \cos \beta)^2 - (\sin \alpha \cdot \sin \beta)^2$. Ta biết rằng $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, do đó: \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] \[ \sin \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \] \[ \sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \] \[ \sin \beta = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \] Thay vào biểu thức $P$: \[ P = \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}\right)^2 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 = \left(\frac{1}{12}\right)^2 - \left(\frac{2\sqrt{30}}{12}\right)^2 = \frac{1}{144} - \frac{120}{144} = \frac{1 - 120}{144} = \frac{-119}{144} \] 6. Cho $\tan x = -\frac{4}{3}$ và $\frac{\pi}{2} < x < \pi$. Tính giá trị của biểu thức $M = \frac{\sin^2 x - \cos x}{\sin x - \cos^2 x}$. Ta biết rằng $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{4}{3}$, do đó $\sin x = -\frac{4}{3} \cos x$. Thay vào biểu thức $M$: \[ M = \frac{\left(-\frac{4}{3} \cos x\right)^2 - \cos x}{-\frac{4}{3} \cos x - \cos^2 x} = \frac{\frac{16}{9} \cos^2 x - \cos x}{-\frac{4}{3} \cos x - \cos^2 x} = \frac{\cos x \left(\frac{16}{9} \cos x - 1\right)}{\cos x \left(-\frac{4}{3} - \cos x\right)} = \frac{\frac{16}{9} \cos x - 1}{-\frac{4}{3} - \cos x} \] 7. Cho $\sin x = -\frac{1}{2}$ và $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$. Tính giá trị biểu thức $P = 3\sin 2x + 4\cos 2x$. Ta biết rằng $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ và $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$. Ta có: \[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] \[ \cos x = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x = 2 \left(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \] Thay vào biểu thức $P$: \[ P = 3 \sin 2x + 4 \cos 2x = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + 2 \] Câu 2. Để giải quyết các bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số hoặc biểu thức, ta sẽ áp dụng các phương pháp phù hợp với trình độ lớp 11. Dưới đây là các bước cơ bản để tìm max và min của hàm số hoặc biểu thức: Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số hoặc biểu thức - Đối với hàm số \( f(x) \), xác định tập xác định \( D_f \). - Đối với biểu thức, kiểm tra các điều kiện để biểu thức có nghĩa (ví dụ: mẫu số khác 0, căn thức trong khoảng xác định). Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số hoặc biểu thức - Tính đạo hàm \( f'(x) \) của hàm số \( f(x) \). - Đặt \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm cực trị. Bước 3: Xét dấu của đạo hàm - Lập bảng xét dấu của \( f'(x) \) trên miền xác định \( D_f \). - Từ đó xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. Bước 4: Tìm giá trị cực đại và cực tiểu - Các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số là các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm hoặc từ âm sang dương. - Đánh giá giá trị của hàm số tại các điểm cực trị này. Bước 5: So sánh giá trị tại các điểm cực trị và biên - So sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực trị với giá trị tại các biên của miền xác định (nếu có). - Kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức. Ví dụ cụ thể: Giả sử ta cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) trên đoạn \([-2, 2]\). 1. Xác định miền xác định: \( D_f = [-2, 2] \). 2. Tìm đạo hàm: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] 3. Xét dấu đạo hàm: - Trên khoảng \((-2, -1)\), \( f'(x) > 0 \) (hàm số đồng biến). - Trên khoảng \((-1, 1)\), \( f'(x) < 0 \) (hàm số nghịch biến). - Trên khoảng \((1, 2)\), \( f'(x) > 0 \) (hàm số đồng biến). 4. Tìm giá trị cực đại và cực tiểu: - Tại \( x = -1 \), \( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \) (cực đại). - Tại \( x = 1 \), \( f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \) (cực tiểu). 5. So sánh giá trị tại các điểm cực trị và biên: - Tại \( x = -2 \), \( f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0 \). - Tại \( x = 2 \), \( f(2) = 2^3 - 3(2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4 \). Kết luận: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được khi \( x = -1 \) và \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, đạt được khi \( x = 1 \) và \( x = -2 \).