Câu 7 nhé.

Câu 7: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \( A = x^2 - 4x + 5 \). Bước 1: Xác định dạng của biểu thức. Biểu thức \( A = x^2 - 4x + 5 \) là một đa thức bậc hai. Bước 2: Tìm đỉnh của parabol. Biểu thức \( A = x^2 - 4x + 5 \) có dạng tổng quát \( ax^2 + bx + c \) với \( a = 1 \), \( b = -4 \), và \( c = 5 \). Đỉnh của parabol này sẽ cho chúng ta GTNN hoặc GTLN của biểu thức. Bước 3: Tính tọa độ đỉnh của parabol. Tọa độ đỉnh \( x \) của parabol \( ax^2 + bx + c \) được tính bằng công thức: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Thay \( a = 1 \) và \( b = -4 \): \[ x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \] Bước 4: Thay giá trị \( x = 2 \) vào biểu thức để tìm giá trị của \( A \). \[ A = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 \] Bước 5: Kết luận. Do \( a = 1 > 0 \), đồ thị của biểu thức \( A = x^2 - 4x + 5 \) mở lên, do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức đạt được tại đỉnh \( x = 2 \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = x^2 - 4x + 5 \) là 1, đạt được khi \( x = 2 \). Không tồn tại giá trị lớn nhất vì biểu thức \( A = x^2 - 4x + 5 \) không bị chặn trên. Đáp số: - Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = x^2 - 4x + 5 \) là 1, đạt được khi \( x = 2 \). - Không tồn tại giá trị lớn nhất. Câu 7: Ta có: \[ A > 0, \quad A > \cos b, \quad a + b \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \] và \[ \sin a = A \cdot \sin(a + b). \] Bước 1: Ta sẽ sử dụng công thức cộng góc để mở rộng \(\sin(a + b)\): \[ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b. \] Bước 2: Thay vào phương trình đã cho: \[ \sin a = A (\sin a \cos b + \cos a \sin b). \] Bước 3: Chia cả hai vế cho \(\sin a\) (vì \(\sin a \neq 0\)): \[ 1 = A (\cos b + \cot a \sin b). \] Bước 4: Giải phương trình trên để tìm \(\cot a\): \[ 1 = A \cos b + A \cot a \sin b. \] \[ 1 - A \cos b = A \cot a \sin b. \] \[ \cot a = \frac{1 - A \cos b}{A \sin b}. \] Bước 5: Tìm \(\tan(a + b)\): \[ \tan(a + b) = \frac{\sin(a + b)}{\cos(a + b)}. \] Bước 6: Sử dụng công thức cộng góc cho \(\cos(a + b)\): \[ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b. \] Bước 7: Thay \(\cot a\) vào \(\cos a\) và \(\sin a\): \[ \cos a = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 a}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left( \frac{1 - A \cos b}{A \sin b} \right)^2}}. \] \[ \sin a = \frac{\cot a}{\sqrt{1 + \cot^2 a}} = \frac{\frac{1 - A \cos b}{A \sin b}}{\sqrt{1 + \left( \frac{1 - A \cos b}{A \sin b} \right)^2}}. \] Bước 8: Thay \(\cos a\) và \(\sin a\) vào \(\cos(a + b)\): \[ \cos(a + b) = \frac{1}{\sqrt{1 + \left( \frac{1 - A \cos b}{A \sin b} \right)^2}} \cdot \cos b - \frac{\frac{1 - A \cos b}{A \sin b}}{\sqrt{1 + \left( \frac{1 - A \cos b}{A \sin b} \right)^2}} \cdot \sin b. \] Bước 9: Rút gọn \(\cos(a + b)\): \[ \cos(a + b) = \frac{\cos b - \frac{1 - A \cos b}{A}}{\sqrt{1 + \left( \frac{1 - A \cos b}{A \sin b} \right)^2}}. \] \[ \cos(a + b) = \frac{A \cos b - (1 - A \cos b)}{A \sqrt{1 + \left( \frac{1 - A \cos b}{A \sin b} \right)^2}}. \] \[ \cos(a + b) = \frac{2A \cos b - 1}{A \sqrt{1 + \left( \frac{1 - A \cos b}{A \sin b} \right)^2}}. \] Bước 10: Tính \(\tan(a + b)\): \[ \tan(a + b) = \frac{\sin(a + b)}{\cos(a + b)} = \frac{A \sin b}{2A \cos b - 1}. \] Vậy, \(\tan(a + b)\) bằng: \[ \boxed{\frac{A \sin b}{2A \cos b - 1}}. \]