cho đường tròn (O,R)và điểm nằm ngoài đường tròn   sao cho OM=8/5R . Từ vẽ hai tiếp tuyến và của đường tròn (với AB   là hai tiếp điểm),  ), đường thẳng AB   cắt tại  OM tại k  . a.chứng minh klà trung...

a) Ta có \(OA \perp AM\) và \(OB \perp BM\). Do đó, \(A\) và \(B\) là các tiếp điểm của đường tròn (O) với các tiếp tuyến \(AM\) và \(BM\). Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có \(OA = OB = R\). Xét tam giác \(OAB\), ta thấy \(OA = OB\), do đó tam giác \(OAB\) là tam giác cân tại \(O\). Đường cao hạ từ đỉnh \(O\) xuống đáy \(AB\) sẽ đồng thời là đường trung tuyến, tức là \(OK\) là đường trung tuyến của tam giác \(OAB\). Vậy \(K\) là trung điểm của \(AB\). b) Xét tam giác \(OAN\), ta thấy \(ON\) là đường kính của đường tròn (O), do đó \(\angle OAN = 90^\circ\). Xét tam giác \(OBN\), ta thấy \(OB\) là bán kính của đường tròn (O), do đó \(\angle OBN = 90^\circ\). Xét tam giác \(MBN\), ta thấy \(MB\) là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại \(B\), do đó \(\angle MBN = 90^\circ\). Xét tam giác \(BHN\), ta thấy \(BH\) là đường cao hạ từ \(B\) xuống \(AN\), do đó \(\angle BHN = 90^\circ\). Ta có: \[ \angle MBN = \angle BHN = 90^\circ \] Do đó, tam giác \(MBN\) và tam giác \(BHN\) có chung góc \(\angle MBN = \angle BHN = 90^\circ\). Hơn nữa, ta thấy \(MB\) là cạnh chung của cả hai tam giác này. Do đó, theo định lý Pythagoras, ta có: \[ MB^2 = BN^2 + MN^2 \] \[ BH^2 = BN^2 + NH^2 \] Nhưng ta cũng thấy rằng \(MN = NH\) (vì \(K\) là trung điểm của \(AB\)), do đó: \[ MB^2 = BN^2 + MN^2 \] \[ BH^2 = BN^2 + MN^2 \] Từ đó ta suy ra: \[ MB^2 = BH^2 \] Vậy ta có: \[ MB \cdot BN = BH \cdot MO \] c) Ta biết rằng \(OM = \frac{8}{5}R\). Ta cần tính diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(OB\), \(ON\) và cung nhỏ \(BN\). Diện tích hình quạt \(OBON\) là: \[ S_{OBON} = \frac{\theta}{360^\circ} \pi R^2 \] Trong đó, \(\theta\) là góc giữa hai bán kính \(OB\) và \(ON\). Ta thấy rằng \(\theta = 90^\circ\) (vì \(ON\) là đường kính và \(OB\) là bán kính). Do đó: \[ S_{OBON} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi R^2 \] Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(OB\), \(ON\) và cung nhỏ \(BN\) là: \[ \boxed{\frac{1}{4} \pi R^2} \]