Ba chiếc máy bay không người lái cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông 40(km) và về phía Nam 60(km), đồng thời cách mặt đất 3(km) . Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc 90(km) và về phía Tây 50(km), đồng thời cách mặt đất 6(km). Chiếc máy bay thứ ba đang trong quá trình bay thì đột ngột mất tín hiệu, biết rằng lần cuối (trước khi mất tín hiệu) máy bay thứ nhất xác định được khoảng cách giữa máy bay thứ nhất và máy bay thứ ba là 2√3401(km) và máy bay thứ ba nằm giữa máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng. Em hãy xác định khoảng cách (tính bằng km) từ vị trí xuất phát đến lúc máy bay số ba mất tín hiệu.

Question

luonghoainhan · Accepted Answer

Giả sử gốc toạ độ là điểm xuất phát của 3 chiếc máy bay, chiều dương Ox là hướng Bắc, chiều dương Oy là hướng Đông, chiều dương Oz là hướng lên
Toạ độ của máy bay thứ nhất là: $\displaystyle A( -60;40;3)$
Toạ độ máy bay thứ hai là: $\displaystyle B( 90;-50;6)$
Khoảng cách hai máy bay là: $\displaystyle AB=\sqrt{( 90+60)^{2} +( 40+50)^{2} +( 6-3)^{2}} =3\sqrt{3401} \ km$
Vì máy bay thứ 3 nằm giữa hai máy bay, giả sử toạ độ máy bay thứ ba là: C
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow \frac{AC}{AB} =\frac{2\sqrt{3401}}{3\sqrt{3401}} =\frac{2}{3}\
\Rightarrow \overrightarrow{AC} =\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} =\frac{2}{3}( 150;-90;3) =( 100;-60;2)\
\Rightarrow C( 40;-20;5)
\end{array}$
Vậy khoảng cách giữa máy bay thứ 3 và điểm xuất phát là: $\displaystyle OC=45\ km$

Timi · Answer

Trước hết, ta xác định tọa độ của các máy bay:
- Máy bay thứ nhất có tọa độ $(40, -60, 3)$.
- Máy bay thứ hai có tọa độ $(-50, 90, 6)$.

Biết rằng máy bay thứ ba nằm giữa máy bay thứ nhất và máy bay thứ hai, đồng thời ba máy bay thẳng hàng, ta có thể xác định tọa độ của máy bay thứ ba theo tỷ lệ giữa hai máy bay còn lại.

Gọi tọa độ của máy bay thứ ba là $(x, y, z)$. Vì máy bay thứ ba nằm giữa máy bay thứ nhất và máy bay thứ hai, ta có thể viết:
$$ (x, y, z) = k(40, -60, 3) + (1-k)(-50, 90, 6) $$
$$ (x, y, z) = (40k - 50(1-k), -60k + 90(1-k), 3k + 6(1-k)) $$
$$ (x, y, z) = (40k - 50 + 50k, -60k + 90 - 90k, 3k + 6 - 6k) $$
$$ (x, y, z) = (90k - 50, 90 - 150k, 6 - 3k) $$

Biết rằng khoảng cách giữa máy bay thứ nhất và máy bay thứ ba là $2\sqrt{3401}$ km, ta có:
$$ \sqrt{(x - 40)^2 + (y + 60)^2 + (z - 3)^2} = 2\sqrt{3401} $$

Thay tọa độ của máy bay thứ ba vào:
$$ \sqrt{(90k - 50 - 40)^2 + (90 - 150k + 60)^2 + (6 - 3k - 3)^2} = 2\sqrt{3401} $$
$$ \sqrt{(90k - 90)^2 + (150 - 150k)^2 + (3 - 3k)^2} = 2\sqrt{3401} $$
$$ \sqrt{8100k^2 - 16200k + 8100 + 22500k^2 - 45000k + 22500 + 9k^2 - 18k + 9} = 2\sqrt{3401} $$
$$ \sqrt{30609k^2 - 61218k + 30609} = 2\sqrt{3401} $$
$$ 30609k^2 - 61218k + 30609 = 4 \times 3401 $$
$$ 30609k^2 - 61218k + 30609 = 13604 $$
$$ 30609k^2 - 61218k + 17005 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai này:
$$ k = \frac{61218 \pm \sqrt{61218^2 - 4 \times 30609 \times 17005}}{2 \times 30609} $$
$$ k = \frac{61218 \pm \sqrt{3747511524 - 2082978060}}{61218} $$
$$ k = \frac{61218 \pm \sqrt{1664533464}}{61218} $$
$$ k = \frac{61218 \pm 40800}{61218} $$

Ta có hai giá trị:
$$ k_1 = \frac{61218 + 40800}{61218} = \frac{102018}{61218} = \frac{17003}{10203} \approx 1 $$
$$ k_2 = \frac{61218 - 40800}{61218} = \frac{20418}{61218} = \frac{3403}{10203} \approx 0.333 $$

Chọn giá trị hợp lý $k = \frac{1}{3}$:
$$ (x, y, z) = (90 \times \frac{1}{3} - 50, 90 - 150 \times \frac{1}{3}, 6 - 3 \times \frac{1}{3}) $$
$$ (x, y, z) = (-20, 20, 5) $$

Khoảng cách từ điểm xuất phát đến máy bay thứ ba:
$$ \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{(-20)^2 + 20^2 + 5^2} = \sqrt{400 + 400 + 25} = \sqrt{825} = 5\sqrt{33} $$

Đáp số: $5\sqrt{33}$ km.

Ba chiếc máy bay không người lái cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông 40(km) và về phía Nam 60(km), đồng thời cách mặt đất 3(km)...