Cho tôi đáp án câu 5, 6, 7 và 8

Câu 5: a. Ta có: - Vector $\overrightarrow{AB} = (-2; -2)$ - Vector $\overrightarrow{AC} = (0; 2)$ - Vector $\overrightarrow{BC} = (2; 4)$ Phương trình đường thẳng đi qua điểm $A$ và vuông góc với $\overrightarrow{AB}$: - Đường thẳng này có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1, 1)$ - Phương trình đường thẳng: $x + y - 6 = 0$ Phương trình đường thẳng đi qua điểm $C$ và vuông góc với $\overrightarrow{BC}$: - Đường thẳng này có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (-2, 1)$ - Phương trình đường thẳng: $-2x + y - 2 = 0$ Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y - 6 = 0 \\ -2x + y - 2 = 0 \end{cases} \] Từ phương trình thứ nhất ta có: $y = 6 - x$ Thay vào phương trình thứ hai: \[ -2x + (6 - x) - 2 = 0 \implies -3x + 4 = 0 \implies x = \frac{4}{3} \] \[ y = 6 - \frac{4}{3} = \frac{18}{3} - \frac{4}{3} = \frac{14}{3} \] Vậy tọa độ trực tâm của tam giác là $H\left(\frac{4}{3}; \frac{14}{3}\right)$. b. Ta có: - Trung điểm của đoạn thẳng $AC$ là $M\left(\frac{2+2}{2}; \frac{4+6}{2}\right) = (2; 5)$ - Vector $\overrightarrow{AC} = (0; 2)$ Phương trình đường trung trực của cạnh $AC$: - Đường thẳng này có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1, 0)$ - Phương trình đường thẳng: $x - 2 = 0$ Trung điểm của đoạn thẳng $BC$ là $N\left(\frac{0+2}{2}; \frac{2+6}{2}\right) = (1; 4)$ - Vector $\overrightarrow{BC} = (2; 4)$ Phương trình đường trung trực của cạnh $BC$: - Đường thẳng này có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (-2, 1)$ - Phương trình đường thẳng: $-2x + y - 2 = 0$ Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x - 2 = 0 \\ -2x + y - 2 = 0 \end{cases} \] Từ phương trình thứ nhất ta có: $x = 2$ Thay vào phương trình thứ hai: \[ -2(2) + y - 2 = 0 \implies -4 + y - 2 = 0 \implies y = 6 \] Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là $O(2; 6)$. Câu 6: Để lập phương trình các đường trung bình của tam giác ABC, chúng ta cần tìm tọa độ của các đỉnh A, B, C và các trung điểm của các cạnh. Bước 1: Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C Tìm tọa độ đỉnh A: Đỉnh A là giao điểm của các đường thẳng AB và AC. \[ \begin{cases} x + y - 4 = 0 \\ 2x - 3y + 7 = 0 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này: Từ phương trình thứ nhất, ta có: \[ y = 4 - x \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ 2x - 3(4 - x) + 7 = 0 \] \[ 2x - 12 + 3x + 7 = 0 \] \[ 5x - 5 = 0 \] \[ x = 1 \] Thay \( x = 1 \) vào \( y = 4 - x \): \[ y = 4 - 1 = 3 \] Vậy tọa độ đỉnh A là \( (1, 3) \). Tìm tọa độ đỉnh B: Đỉnh B là giao điểm của các đường thẳng AB và BC. \[ \begin{cases} x + y - 4 = 0 \\ 4x - y - 21 = 0 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này: Từ phương trình thứ nhất, ta có: \[ y = 4 - x \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ 4x - (4 - x) - 21 = 0 \] \[ 4x - 4 + x - 21 = 0 \] \[ 5x - 25 = 0 \] \[ x = 5 \] Thay \( x = 5 \) vào \( y = 4 - x \): \[ y = 4 - 5 = -1 \] Vậy tọa độ đỉnh B là \( (5, -1) \). Tìm tọa độ đỉnh C: Đỉnh C là giao điểm của các đường thẳng AC và BC. \[ \begin{cases} 2x - 3y + 7 = 0 \\ 4x - y - 21 = 0 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này: Từ phương trình thứ hai, ta có: \[ y = 4x - 21 \] Thay vào phương trình thứ nhất: \[ 2x - 3(4x - 21) + 7 = 0 \] \[ 2x - 12x + 63 + 7 = 0 \] \[ -10x + 70 = 0 \] \[ x = 7 \] Thay \( x = 7 \) vào \( y = 4x - 21 \): \[ y = 4(7) - 21 = 28 - 21 = 7 \] Vậy tọa độ đỉnh C là \( (7, 7) \). Bước 2: Tìm tọa độ các trung điểm của các cạnh Trung điểm của cạnh AB: Trung điểm của đoạn thẳng AB là: \[ M_{AB} = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) = \left( \frac{1 + 5}{2}, \frac{3 + (-1)}{2} \right) = (3, 1) \] Trung điểm của cạnh AC: Trung điểm của đoạn thẳng AC là: \[ M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{1 + 7}{2}, \frac{3 + 7}{2} \right) = (4, 5) \] Trung điểm của cạnh BC: Trung điểm của đoạn thẳng BC là: \[ M_{BC} = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) = \left( \frac{5 + 7}{2}, \frac{-1 + 7}{2} \right) = (6, 3) \] Bước 3: Lập phương trình các đường trung bình Đường trung bình qua M_{AB} và M_{AC}: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( (3, 1) \) và \( (4, 5) \): \[ y - 1 = \frac{5 - 1}{4 - 3}(x - 3) \] \[ y - 1 = 4(x - 3) \] \[ y - 1 = 4x - 12 \] \[ y = 4x - 11 \] Đường trung bình qua M_{AB} và M_{BC}: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( (3, 1) \) và \( (6, 3) \): \[ y - 1 = \frac{3 - 1}{6 - 3}(x - 3) \] \[ y - 1 = \frac{2}{3}(x - 3) \] \[ y - 1 = \frac{2}{3}x - 2 \] \[ y = \frac{2}{3}x - 1 \] Đường trung bình qua M_{AC} và M_{BC}: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( (4, 5) \) và \( (6, 3) \): \[ y - 5 = \frac{3 - 5}{6 - 4}(x - 4) \] \[ y - 5 = \frac{-2}{2}(x - 4) \] \[ y - 5 = -1(x - 4) \] \[ y - 5 = -x + 4 \] \[ y = -x + 9 \] Kết luận Phương trình các đường trung bình của tam giác ABC là: 1. \( y = 4x - 11 \) 2. \( y = \frac{2}{3}x - 1 \) 3. \( y = -x + 9 \) Câu 7: Để tìm phương trình của hai cạnh còn lại của hình bình hành ABCD, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm A: - Điểm A nằm trên cả hai đường thẳng AB và AD. - Phương trình của AB là: \(3x - 2y - 2 = 0\) - Phương trình của AD là: \(x - y = 0\) hay \(y = x\) Thay \(y = x\) vào phương trình của AB: \[ 3x - 2x - 2 = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2 \] Vậy \(y = 2\). Do đó, tọa độ của điểm A là \(A(2, 2)\). 2. Tìm tọa độ của điểm B: - Điểm B nằm trên đường thẳng AB. - Ta có phương trình của AB là: \(3x - 2y - 2 = 0\) Giả sử tọa độ của điểm B là \(B(x_1, y_1)\). Vì B nằm trên AB nên: \[ 3x_1 - 2y_1 - 2 = 0 \] 3. Tìm tọa độ của điểm D: - Điểm D nằm trên đường thẳng AD. - Ta có phương trình của AD là: \(x - y = 0\) hay \(y = x\) Giả sử tọa độ của điểm D là \(D(x_2, y_2)\). Vì D nằm trên AD nên: \[ y_2 = x_2 \] 4. Tìm tọa độ của điểm C: - Trung điểm M của BC có tọa độ \((1, -2)\). - Giả sử tọa độ của điểm C là \(C(x_3, y_3)\). Trung điểm của BC là: \[ M = \left(\frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2}\right) = (1, -2) \] Từ đây ta có: \[ \frac{x_1 + x_3}{2} = 1 \implies x_1 + x_3 = 2 \] \[ \frac{y_1 + y_3}{2} = -2 \implies y_1 + y_3 = -4 \] 5. Tìm tọa độ của điểm C: - Vì ABCD là hình bình hành, vectơ \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \). Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (x_1 - 2, y_1 - 2) \] \[ \overrightarrow{DC} = (x_3 - x_2, y_3 - y_2) \] Vì \(y_2 = x_2\), ta có: \[ \overrightarrow{DC} = (x_3 - x_2, y_3 - x_2) \] Do đó: \[ x_1 - 2 = x_3 - x_2 \] \[ y_1 - 2 = y_3 - x_2 \] Kết hợp với \(x_1 + x_3 = 2\) và \(y_1 + y_3 = -4\), ta có thể giải hệ phương trình này để tìm \(x_1, y_1, x_2, y_2, x_3, y_3\). 6. Tìm phương trình của các cạnh còn lại: - Phương trình của CD: \[ \text{CD đi qua } D(x_2, y_2) \text{ và song song với AB} \] Phương trình của CD sẽ có dạng \(3x - 2y + c = 0\). Thay tọa độ của D vào để tìm \(c\). - Phương trình của BC: \[ \text{BC đi qua } B(x_1, y_1) \text{ và song song với AD} \] Phương trình của BC sẽ có dạng \(x - y + d = 0\). Thay tọa độ của B vào để tìm \(d\). Sau khi tính toán cụ thể, ta sẽ có phương trình của các cạnh còn lại của hình bình hành ABCD. Câu 8: Để lập phương trình đường cao kẻ từ B của tam giác ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ đỉnh A: - Vì N là trung điểm của AB, ta có: \[ N = \left( \frac{x_B + x_A}{2}, \frac{y_B + y_A}{2} \right) \] \[ (0, 1) = \left( \frac{x_B + x_A}{2}, \frac{y_B + y_A}{2} \right) \] Từ đây, ta có hai phương trình: \[ \frac{x_B + x_A}{2} = 0 \Rightarrow x_B + x_A = 0 \Rightarrow x_A = -x_B \] \[ \frac{y_B + y_A}{2} = 1 \Rightarrow y_B + y_A = 2 \Rightarrow y_A = 2 - y_B \] - Vì P là trung điểm của AC, ta có: \[ P = \left( \frac{x_C + x_A}{2}, \frac{y_C + y_A}{2} \right) \] \[ (2, 0) = \left( \frac{x_C + x_A}{2}, \frac{y_C + y_A}{2} \right) \] Từ đây, ta có hai phương trình: \[ \frac{x_C + x_A}{2} = 2 \Rightarrow x_C + x_A = 4 \Rightarrow x_C = 4 - x_A \] \[ \frac{y_C + y_A}{2} = 0 \Rightarrow y_C + y_A = 0 \Rightarrow y_C = -y_A \] 2. Tìm tọa độ đỉnh C: - Vì M là trung điểm của BC, ta có: \[ M = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) \] \[ (1, -2) = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) \] Từ đây, ta có hai phương trình: \[ \frac{x_B + x_C}{2} = 1 \Rightarrow x_B + x_C = 2 \Rightarrow x_C = 2 - x_B \] \[ \frac{y_B + y_C}{2} = -2 \Rightarrow y_B + y_C = -4 \Rightarrow y_C = -4 - y_B \] 3. Kết hợp các phương trình: - Từ \( x_C = 4 - x_A \) và \( x_C = 2 - x_B \), ta có: \[ 4 - x_A = 2 - x_B \Rightarrow 4 - (-x_B) = 2 - x_B \Rightarrow 4 + x_B = 2 - x_B \Rightarrow 2x_B = -2 \Rightarrow x_B = -1 \] \[ x_A = -(-1) = 1 \] - Từ \( y_C = -y_A \) và \( y_C = -4 - y_B \), ta có: \[ -y_A = -4 - y_B \Rightarrow -y_A = -4 - (-1) \Rightarrow -y_A = -3 \Rightarrow y_A = 3 \] \[ y_B = 2 - y_A = 2 - 3 = -1 \] - Từ \( x_C = 2 - x_B \), ta có: \[ x_C = 2 - (-1) = 3 \] - Từ \( y_C = -y_A \), ta có: \[ y_C = -3 \] Vậy tọa độ các đỉnh là: \[ A(1, 3), B(-1, -1), C(3, -3) \] 4. Tìm phương trình đường thẳng AC: - Vector AC: \[ \overrightarrow{AC} = (3 - 1, -3 - 3) = (2, -6) \] Phương trình đường thẳng AC: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{-6} \Rightarrow 3(x - 1) = -(y - 3) \Rightarrow 3x - 3 = -y + 3 \Rightarrow 3x + y - 6 = 0 \] 5. Tìm phương trình đường cao từ B: - Đường cao từ B vuông góc với AC, nên vector pháp tuyến của AC là (3, 1). - Phương trình đường cao từ B: \[ 3(x + 1) + 1(y + 1) = 0 \Rightarrow 3x + 3 + y + 1 = 0 \Rightarrow 3x + y + 4 = 0 \] Vậy phương trình đường cao kẻ từ B của tam giác ABC là: \[ 3x + y + 4 = 0 \]