giải các bài sau

BÀI 1: Để giải quyết bài tập trắc nghiệm về đổi đơn vị giữa độ và radian cũng như tính độ dài cung tròn, chúng ta cần nắm vững các công thức cơ bản sau: 1. Đổi đơn vị giữa độ và radian: - Công thức chuyển đổi từ độ sang radian: \( \text{radian} = \frac{\pi}{180^\circ} \times \text{độ} \). - Công thức chuyển đổi từ radian sang độ: \( \text{độ} = \frac{180^\circ}{\pi} \times \text{radian} \). 2. Độ dài cung tròn: - Độ dài cung tròn \( l \) được tính bằng công thức: \( l = r \times \theta \), trong đó \( r \) là bán kính của đường tròn và \( \theta \) là góc ở tâm đo bằng radian. Ví dụ minh họa: Bài toán 1: Đổi \( 60^\circ \) sang radian. Giải: - Sử dụng công thức chuyển đổi từ độ sang radian: \[ \text{radian} = \frac{\pi}{180^\circ} \times 60^\circ = \frac{\pi}{3} \] - Vậy, \( 60^\circ \) tương ứng với \( \frac{\pi}{3} \) radian. Bài toán 2: Đổi \( \frac{\pi}{4} \) radian sang độ. Giải: - Sử dụng công thức chuyển đổi từ radian sang độ: \[ \text{độ} = \frac{180^\circ}{\pi} \times \frac{\pi}{4} = 45^\circ \] - Vậy, \( \frac{\pi}{4} \) radian tương ứng với \( 45^\circ \). Bài toán 3: Tính độ dài cung tròn có bán kính \( r = 5 \) cm và góc ở tâm \( \theta = \frac{\pi}{6} \) radian. Giải: - Sử dụng công thức tính độ dài cung tròn: \[ l = r \times \theta = 5 \times \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \text{ cm} \] - Vậy, độ dài cung tròn là \( \frac{5\pi}{6} \) cm. Những bước trên giúp học sinh hiểu rõ cách chuyển đổi giữa độ và radian cũng như cách tính độ dài cung tròn một cách chính xác và hiệu quả. Câu 1: Để tìm độ dài của cung tròn, ta sử dụng công thức tính độ dài cung tròn: \[ l = r \cdot \theta \] trong đó \( l \) là độ dài cung tròn, \( r \) là bán kính của đường tròn, và \( \theta \) là số đo của cung tròn tính bằng radian. Trước tiên, ta cần chuyển đổi số đo của cung từ độ sang radian. Số đo \( 54^\circ \) được chuyển sang radian bằng cách sử dụng công thức: \[ \theta = \frac{54 \cdot \pi}{180} \] Tính toán: \[ \theta = \frac{54 \cdot \pi}{180} = \frac{3 \cdot \pi}{10} \] Bây giờ, ta thay giá trị của \( r = 7 \) cm và \( \theta = \frac{3\pi}{10} \) vào công thức tính độ dài cung tròn: \[ l = 7 \cdot \frac{3\pi}{10} = \frac{21\pi}{10} \text{ cm} \] Vậy độ dài của cung tròn là \(\frac{21}{10}\pi\) cm. Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~\frac{21}{10}\pi(cm)} \] Câu 2: Để tính độ dài cung tròn khi biết số đo cung bằng radian, ta sử dụng công thức: \[ L = r \times \theta \] trong đó: - \( L \) là độ dài cung tròn, - \( r \) là bán kính của đường tròn, - \( \theta \) là số đo của cung tròn tính bằng radian. Bước 1: Tính bán kính \( r \) của đường tròn. - Đường kính của đường tròn là 8 cm, do đó bán kính \( r \) là: \[ r = \frac{8}{2} = 4 \, \text{cm} \] Bước 2: Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn. - Số đo cung tròn \( \theta = 1,5 \, \text{rad} \). Thay các giá trị vào công thức: \[ L = 4 \times 1,5 = 6 \, \text{cm} \] Vậy độ dài cung tròn là 6 cm. Đáp án đúng là C. 6cm. Câu 3: Để xác định khẳng định sai, chúng ta cần xem xét từng khẳng định một cách chi tiết: A. Cung tròn có bán kính \( R = 5 \, \text{cm} \) và có số đo \( 1,5 \, \text{rad} \) thì có độ dài là \( 7,5 \, \text{cm} \). - Công thức tính độ dài cung tròn là \( l = R \cdot \theta \), trong đó \( l \) là độ dài cung, \( R \) là bán kính và \( \theta \) là số đo cung tính bằng radian. - Thay vào công thức: \( l = 5 \cdot 1,5 = 7,5 \, \text{cm} \). - Khẳng định A là đúng. B. Cung tròn có bán kính \( R = 8 \, \text{cm} \) và có độ dài 8 cm thì có số đo độ là \( \left(\frac{180}{\pi}\right) \). - Sử dụng công thức \( l = R \cdot \theta \), ta có \( 8 = 8 \cdot \theta \) nên \( \theta = 1 \, \text{rad} \). - Đổi từ radian sang độ: \( 1 \, \text{rad} = \frac{180}{\pi} \, \text{độ} \). - Khẳng định B là đúng. C. Độ dài cung tròn phụ thuộc vào bán kính của nó. - Đúng, vì công thức tính độ dài cung tròn là \( l = R \cdot \theta \), trong đó \( l \) phụ thuộc vào \( R \). - Khẳng định C là đúng. D. Góc lượng giác \( (Ou,Ov) \) có số đo dương thì mọi góc lượng giác \( (Ou,Ov) \) có số đo âm. - Khẳng định này không đúng. Nếu một góc lượng giác có số đo dương, điều đó không có nghĩa là mọi góc lượng giác tương ứng đều có số đo âm. Góc lượng giác có thể có số đo dương hoặc âm tùy thuộc vào cách quay (ngược chiều kim đồng hồ là dương, cùng chiều kim đồng hồ là âm). - Khẳng định D là sai. Vậy, khẳng định sai là D. Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần tính quãng đường mà bánh xe đi được sau khi quay 5 vòng quanh trục. Quãng đường đi được của bánh xe chính là chu vi của bánh xe nhân với số vòng quay. 1. Tính chu vi của bánh xe: Bán kính của bánh xe là \( r = 50 \) cm. Chu vi của bánh xe được tính theo công thức: \[ C = 2\pi r \] Thay \( r = 50 \) cm vào công thức, ta có: \[ C = 2\pi \times 50 = 100\pi \text{ cm} \] 2. Tính quãng đường đi được sau 5 vòng quay: Quãng đường đi được sau 5 vòng quay là: \[ S = 5 \times C = 5 \times 100\pi = 500\pi \text{ cm} \] Vậy, quãng đường đi được là \( 500\pi \) cm. Do đó, đáp án đúng là \( C.~500\pi(cm) \). Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần tính tổng quãng đường mà mũi kim phút và kim giờ đi được trong 30 phút. 1. Tính quãng đường mũi kim phút đi được: - Kim phút quay hết một vòng (360 độ) trong 60 phút. Do đó, trong 30 phút, kim phút quay được một nửa vòng, tức là 180 độ. - Độ dài quãng đường mà mũi kim phút đi được là nửa chu vi của đường tròn có bán kính bằng độ dài kim phút. - Bán kính của đường tròn là 10 cm, nên chu vi của đường tròn là \(2 \pi \times 10 = 20\pi\). - Quãng đường mũi kim phút đi được trong 30 phút là \(\frac{1}{2} \times 20\pi = 10\pi\). 2. Tính quãng đường mũi kim giờ đi được: - Kim giờ quay hết một vòng (360 độ) trong 12 giờ (720 phút). Do đó, trong 30 phút, kim giờ quay được \(\frac{30}{720} \times 360 = 15\) độ. - Độ dài quãng đường mà mũi kim giờ đi được là \(\frac{15}{360}\) của chu vi của đường tròn có bán kính bằng độ dài kim giờ. - Bán kính của đường tròn là 8 cm, nên chu vi của đường tròn là \(2 \pi \times 8 = 16\pi\). - Quãng đường mũi kim giờ đi được trong 30 phút là \(\frac{15}{360} \times 16\pi = \frac{1}{24} \times 16\pi = \frac{2}{3}\pi\). 3. Tổng quãng đường cả hai kim đi được: - Tổng quãng đường là \(10\pi + \frac{2}{3}\pi = \frac{30}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi = \frac{32}{3}\pi\). Vậy, tổng quãng đường mũi kim phút và kim giờ đi được trong 30 phút là \(\frac{32}{3}\pi\). Đáp án đúng là \(D.~\frac{32}{3}\pi.\)