Lập phương trình chính tắc elip, biết tứ giác ABCD là hình thoi có 4 đỉnh trùng với các đỉnh của elip. Đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình (C) : x2 + y2 = 4 và AC = 2BD , A t...

Để lập phương trình chính tắc của elip, ta cần xác định các yếu tố cơ bản của elip như tâm, bán trục lớn, bán trục nhỏ. Bước 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn nội tiếp hình thoi Phương trình đường tròn nội tiếp hình thoi là \(x^2 + y^2 = 4\). Đường tròn này có tâm tại gốc tọa độ \(O(0, 0)\) và bán kính \(R = 2\). Bước 2: Xác định các đỉnh của hình thoi Vì đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi, nên tâm của elip cũng là tâm của hình thoi, tức là \(O(0, 0)\). Giả sử các đỉnh của hình thoi là \(A(x_1, 0)\), \(B(0, y_1)\), \(C(-x_1, 0)\), \(D(0, -y_1)\). Do \(A\) thuộc trục Ox, nên tọa độ của \(A\) là \((x_1, 0)\). Bước 3: Sử dụng điều kiện \(AC = 2BD\) Ta có: - \(AC = 2x_1\) - \(BD = 2y_1\) Theo đề bài, \(AC = 2BD\), do đó: \[ 2x_1 = 2(2y_1) \] \[ x_1 = 2y_1 \] Bước 4: Xác định bán trục lớn và bán trục nhỏ của elip Vì hình thoi có đường tròn nội tiếp bán kính 2, nên khoảng cách từ tâm đến các cạnh của hình thoi là 2. Do đó, bán trục lớn và bán trục nhỏ của elip là: - Bán trục lớn \(a = x_1 = 2y_1\) - Bán trục nhỏ \(b = y_1\) Từ \(x_1 = 2y_1\), ta có: \[ a = 2b \] Bước 5: Lập phương trình chính tắc của elip Phương trình chính tắc của elip có dạng: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Với \(a = 2b\), ta có: \[ \frac{x^2}{(2b)^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] \[ \frac{x^2}{4b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Để tìm \(b\), ta sử dụng điều kiện tiếp xúc của đường tròn với các cạnh của hình thoi. Vì bán kính đường tròn là 2, nên \(b = 2\). Thay \(b = 2\) vào phương trình elip: \[ \frac{x^2}{4 \times 4} + \frac{y^2}{4} = 1 \] \[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1 \] Vậy phương trình chính tắc của elip là: \[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1 \]