HHzjsjjsjsjsjsj Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với $A(1;2;5),~B(2;4;-3),~C(3;3;1).$ Gọi G là trọng,tâm của tam giác ABC và M là điểm thay đổi trên mặt phẳng (Oxy). Độ dài GM ngắn nhất,bằng bao nhiêu? $G=?~(2;3;1)$

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Để tìm độ dài $ GM $ ngắn nhất, chúng ta cần xác định tọa độ của trọng tâm $ G $ của tam giác $ ABC $ và sau đó tìm điểm $ M $ trên mặt phẳng $ (Oxy) $ sao cho khoảng cách từ $ G $ đến $ M $ là ngắn nhất.

Bước 1: Tìm tọa độ của trọng tâm $ G $ của tam giác $ ABC $.

Trọng tâm $ G $ của tam giác $ ABC $ có tọa độ:
$$ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) $$

Thay tọa độ của $ A(1;2;5) $, $ B(2;4;-3) $, và $ C(3;3;1) $:
$$ G\left(\frac{1 + 2 + 3}{3}, \frac{2 + 4 + 3}{3}, \frac{5 - 3 + 1}{3}\right) $$
$$ G\left(\frac{6}{3}, \frac{9}{3}, \frac{3}{3}\right) $$
$$ G(2, 3, 1) $$

Bước 2: Xác định điểm $ M $ trên mặt phẳng $ (Oxy) $.

Mặt phẳng $ (Oxy) $ có phương trình $ z = 0 $. Do đó, tọa độ của điểm $ M $ sẽ có dạng $ M(x, y, 0) $.

Bước 3: Tính khoảng cách $ GM $.

Khoảng cách giữa hai điểm $ G(2, 3, 1) $ và $ M(x, y, 0) $ là:
$$ GM = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (0 - 1)^2} $$
$$ GM = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + 1} $$

Để $ GM $ ngắn nhất, ta cần tối thiểu hóa biểu thức $ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + 1 $. Điều này xảy ra khi $ x = 2 $ và $ y = 3 $.

Do đó, điểm $ M $ là $ M(2, 3, 0) $.

Bước 4: Tính khoảng cách $ GM $ khi $ M(2, 3, 0) $.

$$ GM = \sqrt{(2 - 2)^2 + (3 - 3)^2 + 1} $$
$$ GM = \sqrt{0 + 0 + 1} $$
$$ GM = 1 $$

Vậy độ dài $ GM $ ngắn nhất là 1.

Đáp số: 1