hahhahshshshshsshhs

Câu 109: Để kiểm tra xem mặt phẳng \( P: 3x - 4y + 2z + 15 = 0 \) có cắt các cạnh của tam giác \( ABC \) hay không, ta sẽ thay tọa độ các đỉnh của tam giác vào phương trình của mặt phẳng và kiểm tra dấu của các giá trị nhận được. 1. Thay tọa độ điểm \( A(1, 3, 5) \) vào phương trình của mặt phẳng: \[ 3(1) - 4(3) + 2(5) + 15 = 3 - 12 + 10 + 15 = 16 > 0 \] 2. Thay tọa độ điểm \( B(-2, 1, 4) \) vào phương trình của mặt phẳng: \[ 3(-2) - 4(1) + 2(4) + 15 = -6 - 4 + 8 + 15 = 13 > 0 \] 3. Thay tọa độ điểm \( C(-3, 2, -1) \) vào phương trình của mặt phẳng: \[ 3(-3) - 4(2) + 2(-1) + 15 = -9 - 8 - 2 + 15 = -4 < 0 \] Từ kết quả trên, ta thấy: - \( A \) và \( B \) nằm cùng phía so với mặt phẳng \( P \) (cả hai đều có giá trị dương). - \( C \) nằm ở phía đối diện so với \( A \) và \( B \) (có giá trị âm). Do đó: - Mặt phẳng \( P \) không cắt cạnh \( AB \) vì cả hai điểm \( A \) và \( B \) đều nằm cùng phía. - Mặt phẳng \( P \) cắt cạnh \( AC \) vì \( A \) và \( C \) nằm ở hai phía khác nhau. - Mặt phẳng \( P \) cắt cạnh \( BC \) vì \( B \) và \( C \) nằm ở hai phía khác nhau. Vậy, câu trả lời đúng là: D. Chỉ III và IV. Câu 110: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng lựa chọn để xác định câu nào đúng. Bước 1: Xác định phương trình của mặt phẳng R Mặt phẳng R đi qua hai điểm \( A(1, 3, -1) \) và \( B(-2, 4, -1) \). Vector chỉ phương của R là: \[ \overrightarrow{AB} = (-2 - 1, 4 - 3, -1 + 1) = (-3, 1, 0) \] Mặt phẳng R vuông góc với mặt phẳng \( P: 2x + 2y - 6z + 5 = 0 \). Vector pháp tuyến của P là \( \overrightarrow{n_P} = (2, 2, -6) \). Vector pháp tuyến của R sẽ vuông góc với cả \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{n_P} \). Ta tính tích có hướng: \[ \overrightarrow{n_R} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{n_P} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & -6 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-6) - 0 \cdot 2) - \mathbf{j}((-3) \cdot (-6) - 0 \cdot 2) + \mathbf{k}((-3) \cdot 2 - 1 \cdot 2) \] \[ = \mathbf{i}(-6) - \mathbf{j}(18) + \mathbf{k}(-8) = (-6, -18, -8) \] Chúng ta có thể đơn giản hóa vector pháp tuyến này bằng cách chia cho 2: \[ \overrightarrow{n_R} = (-3, -9, -4) \] Bước 2: Kiểm tra từng lựa chọn Lựa chọn A: R có một vector chỉ phương là \( \overrightarrow{a} = (-1, -1, 3) \) Vector chỉ phương của R là \( \overrightarrow{AB} = (-3, 1, 0) \). Vector \( \overrightarrow{a} = (-1, -1, 3) \) không phải là vector chỉ phương của R vì nó không song song với \( \overrightarrow{AB} \). Lựa chọn B: R có một vector pháp là \( \overrightarrow{n} = (1, 2, 1) \) Vector pháp tuyến của R là \( \overrightarrow{n_R} = (-3, -9, -4) \). Vector \( \overrightarrow{n} = (1, 2, 1) \) không phải là vector pháp tuyến của R vì nó không vuông góc với cả \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{n_P} \). Lựa chọn C: R vuông góc với giao tuyến D của P và Q Giao tuyến D của P và Q là đường thẳng nằm trong cả hai mặt phẳng P và Q. Vector chỉ phương của D là tích có hướng của các vector pháp tuyến của P và Q: \[ \overrightarrow{d_D} = \overrightarrow{n_P} \times \overrightarrow{n_Q} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 2 & -6 \\ 3 & 4 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 2 - (-6) \cdot 4) - \mathbf{j}(2 \cdot 2 - (-6) \cdot 3) + \mathbf{k}(2 \cdot 4 - 2 \cdot 3) \] \[ = \mathbf{i}(4 + 24) - \mathbf{j}(4 + 18) + \mathbf{k}(8 - 6) = (28, -22, 2) \] Vector pháp tuyến của R là \( \overrightarrow{n_R} = (-3, -9, -4) \). Ta kiểm tra xem \( \overrightarrow{n_R} \) có vuông góc với \( \overrightarrow{d_D} \) hay không: \[ \overrightarrow{n_R} \cdot \overrightarrow{d_D} = (-3) \cdot 28 + (-9) \cdot (-22) + (-4) \cdot 2 = -84 + 198 - 8 = 106 \neq 0 \] Do đó, R không vuông góc với giao tuyến D của P và Q. Lựa chọn D: Hai câu A và B Vì cả hai câu A và B đều sai, nên lựa chọn D cũng sai. Kết luận Không có câu nào trong các lựa chọn A, B, C, D là đúng.