Giải hộ mình câu này với các bạn

(a) \(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sin^3 n - \cos^4 n}{n^5}\)

Ta biết rằng \(\sin n\) và \(\cos n\) là các hàm tuần hoàn có giá trị nằm trong khoảng \([-1, 1]\). Do đó, \(\sin^3 n\) và \(\cos^4 n\) cũng nằm trong khoảng \([-1, 1]\).

Vì \(\sin^3 n - \cos^4 n\) bị chặn trong khoảng \([-2, 2]\) và \(n^5 \rightarrow \infty\) khi \(n \rightarrow \infty\), ta có:

\[
\left| \frac{\sin^3 n - \cos^4 n}{n^5} \right| \leq \frac{2}{n^5} \rightarrow 0
\]

Vậy:
\[
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sin^3 n - \cos^4 n}{n^5} = 0
\]

(c) \(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2}{4^n}\)

Để tính giới hạn này, ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital do cả tử số và mẫu số đều tiến tới vô cực khi \(n \rightarrow \infty\):

\[
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2}{4^n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n}{4^n \cdot \ln 4} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2}{4^n \cdot (\ln 4)^2} = 0
\]

Do đó:
\[
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2}{4^n} = 0
\]

(e) \(\lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{3}{2n} \right)^n\)

Ta sử dụng khai triển Taylor của hàm số \(\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \approx e^x\) khi \(n \rightarrow \infty\).

Đặt \( x = \frac{3}{2} \), ta có:
\[
\lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{3}{2n} \right)^n = e^{\frac{3}{2}} = \sqrt{e^3} \approx 4.48
\]