Giải hộ mình câu này với các bạn Bài 3. Tính các giới hạn sat,$(a)\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin^3n-\cos^4n}{n^5}$,$(c)~\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2}{4^n}.$,$(e)~\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac3{2n})^n.$

Question

Accepted Answer

Bài 3.
(a) Ta có:
$$
|\sin^3 n - \cos^4 n| \leq |\sin^3 n| + |\cos^4 n| \leq 1 + 1 = 2.
$$
Do đó:
$$
\left| \frac{\sin^3 n - \cos^4 n}{n^5} \right| \leq \frac{2}{n^5}.
$$
Khi $ n \to \infty $, ta có $ \frac{2}{n^5} \to 0 $. Vậy theo nguyên lý kẹp:
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{\sin^3 n - \cos^4 n}{n^5} = 0.
$$

(c) Ta có:
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{4^n}.
$$
Ta sử dụng phương pháp biến đổi để dễ dàng hơn:
$$
\frac{n^2}{4^n} = \frac{n^2}{(2^2)^n} = \frac{n^2}{2^{2n}}.
$$
Ta thấy rằng $ 2^{2n} $ tăng nhanh hơn nhiều so với $ n^2 $ khi $ n \to \infty $. Do đó:
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{2^{2n}} = 0.
$$

(e) Ta có:
$$
\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{3}{2n}\right)^n.
$$
Ta nhận thấy rằng đây là dạng giới hạn cơ bản liên quan đến số e:
$$
\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{a}{n}\right)^n = e^a.
$$
Trong trường hợp này, $ a = \frac{3}{2} $. Do đó:
$$
\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{3}{2n}\right)^n = e^{\frac{3}{2}}.
$$

Đáp số:
(a) $ 0 $
(c) $ 0 $
(e) $ e^{\frac{3}{2}} $