giải toán 12

Câu 6. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', các cạnh của nó đều bằng nhau và vuông góc với nhau. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ là vectơ chỉ từ đỉnh A đến đỉnh B, tức là chỉ theo hướng của một cạnh của hình lập phương. Các lựa chọn: A. $\overrightarrow{D^\prime C^\prime}$ B. $\overrightarrow{BA}$ C. $\overrightarrow{CD}$ D. $\overrightarrow{B^\prime A^\prime}$ Ta sẽ kiểm tra từng vectơ này để xem liệu chúng có cùng hướng và độ dài với $\overrightarrow{AB}$ hay không. - $\overrightarrow{D^\prime C^\prime}$: Đây là vectơ chỉ từ đỉnh D' đến đỉnh C', nằm trên mặt trên của hình lập phương. Nó không cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$. - $\overrightarrow{BA}$: Đây là vectơ chỉ từ đỉnh B đến đỉnh A, ngược lại với $\overrightarrow{AB}$. Vì vậy, nó không cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$. - $\overrightarrow{CD}$: Đây là vectơ chỉ từ đỉnh C đến đỉnh D, nằm trên mặt đáy của hình lập phương. Nó không cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$. - $\overrightarrow{B^\prime A^\prime}$: Đây là vectơ chỉ từ đỉnh B' đến đỉnh A', nằm trên mặt trên của hình lập phương. Nó cùng hướng và độ dài với $\overrightarrow{AB}$. Do đó, vectơ bằng $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{B^\prime A^\prime}$. Đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{B^\prime A^\prime}$. Câu 7. Để tìm tọa độ tâm \( I \) của hình hộp \( ABCD.A'B'C'D' \), ta cần xác định tọa độ của các đỉnh còn lại của hình hộp và sau đó tính trung điểm của đường chéo hình hộp. Bước 1: Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp. - Ta biết \( A(1;0;1) \), \( B(2;1;2) \), \( D(1;-1;1) \), và \( C'(4;5;-5) \). - Để tìm tọa độ của \( C \), ta sử dụng tính chất của hình hộp: \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \). Tính \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 1, 1 - 0, 2 - 1) = (1, 1, 1) \] Do đó: \[ \overrightarrow{DC} = (1, 1, 1) \] \[ C = D + \overrightarrow{DC} = (1, -1, 1) + (1, 1, 1) = (2, 0, 2) \] - Để tìm tọa độ của \( A' \), ta sử dụng tính chất của hình hộp: \( \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{DD'} \). Tính \( \overrightarrow{DD'} \): \[ \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{CC'} = (4 - 2, 5 - 0, -5 - 2) = (2, 5, -7) \] Do đó: \[ A' = A + \overrightarrow{AA'} = (1, 0, 1) + (2, 5, -7) = (3, 5, -6) \] - Để tìm tọa độ của \( B' \), ta sử dụng tính chất của hình hộp: \( \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{AA'} \). Do đó: \[ B' = B + \overrightarrow{BB'} = (2, 1, 2) + (2, 5, -7) = (4, 6, -5) \] - Để tìm tọa độ của \( D' \), ta sử dụng tính chất của hình hộp: \( \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{CC'} \). Do đó: \[ D' = D + \overrightarrow{DD'} = (1, -1, 1) + (2, 5, -7) = (3, 4, -6) \] Bước 2: Tính tọa độ tâm \( I \) của hình hộp. Tâm \( I \) của hình hộp là trung điểm của đường chéo \( AC' \). Tính trung điểm của \( AC' \): \[ I = \left( \frac{1 + 4}{2}, \frac{0 + 5}{2}, \frac{1 + (-5)}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{5}{2}, -2 \right) \] Vậy tọa độ tâm \( I \) của hình hộp là: \[ I \left( \frac{5}{2}, \frac{5}{2}, -2 \right) \] Đáp án đúng là: A. \( I \left( \frac{5}{2}, \frac{5}{2}, -2 \right) \) Câu 8. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{x^3}{3} + 2x^2 - 5x + 1 \) trên đoạn \([-1; 3]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{x^3}{3} + 2x^2 - 5x + 1 \right)' = x^2 + 4x - 5 \] 2. Tìm các điểm cực trị trong khoảng (-1, 3): Giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ x^2 + 4x - 5 = 0 \] Phương trình này có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \). Ta sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2} \] \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -5 \] Trong đó, \( x = -5 \) nằm ngoài khoảng \([-1; 3]\), nên ta chỉ xét \( x = 1 \). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = \frac{(-1)^3}{3} + 2(-1)^2 - 5(-1) + 1 = -\frac{1}{3} + 2 + 5 + 1 = \frac{23}{3} \] - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = \frac{(1)^3}{3} + 2(1)^2 - 5(1) + 1 = \frac{1}{3} + 2 - 5 + 1 = -\frac{5}{3} \] - Tại \( x = 3 \): \[ y(3) = \frac{(3)^3}{3} + 2(3)^2 - 5(3) + 1 = 9 + 18 - 15 + 1 = 13 \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất: \[ y(-1) = \frac{23}{3}, \quad y(1) = -\frac{5}{3}, \quad y(3) = 13 \] Trong các giá trị trên, giá trị nhỏ nhất là \( -\frac{5}{3} \). Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{x^3}{3} + 2x^2 - 5x + 1 \) trên đoạn \([-1; 3]\) là \( -\frac{5}{3} \), đạt được khi \( x = 1 \). Đáp án đúng là: B. \( -\frac{5}{3} \). Câu 9. Trước tiên, ta nhận thấy rằng đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Điều này có nghĩa là O là trung điểm của cả hai đường chéo AC và BD. Ta sẽ tính tổng các vectơ $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD}$. Bước 1: Ta viết lại các vectơ theo vectơ $\overrightarrow{SO}$ và các vectơ từ O đến các đỉnh của đáy: - $\overrightarrow{SA} = \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OA}$ - $\overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OB}$ - $\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OC}$ - $\overrightarrow{SD} = \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OD}$ Bước 2: Thay vào tổng các vectơ: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OC}) + (\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OD}) \] Bước 3: Gom các vectơ $\overrightarrow{SO}$ lại: \[ = 4\overrightarrow{SO} + (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) \] Bước 4: Vì O là trung điểm của cả hai đường chéo AC và BD, nên ta có: - $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$ (vì O là trung điểm của AC) - $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ (vì O là trung điểm của BD) Do đó: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \] Bước 5: Thay kết quả này vào tổng các vectơ: \[ 4\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{0} = 4\overrightarrow{SO} \] Vậy tổng $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO}$. Đáp án đúng là: C. $4\overrightarrow{SO}$. Câu 10. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{MN}$, ta thực hiện phép trừ giữa tọa độ của điểm N và điểm M. Tọa độ của $\overrightarrow{OM}$ là $(2, 5, -1)$. Tọa độ của $\overrightarrow{ON}$ là $(3, -2, 0)$. Ta có: \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} \] Thực hiện phép trừ từng thành phần: \[ \overrightarrow{MN} = (3 - 2, -2 - 5, 0 - (-1)) = (1, -7, 1) \] Vậy tọa độ của $\overrightarrow{MN}$ là $(1, -7, 1)$. Đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{MN} = (1, -7, 1)$. Câu 11. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow b$, ta dựa vào công thức đã cho: \[ \overrightarrow b = -8\overrightarrow i - 10\overrightarrow j - 10\overrightarrow k \] Trong đó: - $\overrightarrow i$ là đơn vị vectơ theo trục Ox, - $\overrightarrow j$ là đơn vị vectơ theo trục Oy, - $\overrightarrow k$ là đơn vị vectơ theo trục Oz. Từ đó, ta có: - Tọa độ theo trục Ox là -8, - Tọa độ theo trục Oy là -10, - Tọa độ theo trục Oz là -10. Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow b$ là: \[ (-8, -10, -10) \] Do đó, đáp án đúng là: B. $(-8, -10, -10)$ Câu 12. Để tính quãng đường vật đi được ở giây thứ 4, ta thay \( t = 4 \) vào phương trình chuyển động \( s(t) = t^3 - 3t^2 + 9t + 36 \). Bước 1: Thay \( t = 4 \) vào phương trình \( s(t) \): \[ s(4) = 4^3 - 3 \cdot 4^2 + 9 \cdot 4 + 36 \] Bước 2: Tính từng phần của biểu thức: \[ 4^3 = 64 \] \[ 3 \cdot 4^2 = 3 \cdot 16 = 48 \] \[ 9 \cdot 4 = 36 \] Bước 3: Thay các giá trị đã tính vào biểu thức: \[ s(4) = 64 - 48 + 36 + 36 \] Bước 4: Thực hiện phép tính cộng và trừ: \[ s(4) = 64 - 48 + 36 + 36 = 16 + 36 + 36 = 88 \] Vậy quãng đường vật đi được ở giây thứ 4 là 88 m. Đáp án đúng là: B. 88(m). Câu 1. Để giải quyết các bài toán liên quan đến hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các kích thước của hình hộp chữ nhật - Chiều dài \( AB = 2a \) - Chiều rộng \( AD = 3a \) - Chiều cao \( AA' = 4a \) Bước 2: Tính thể tích của hình hộp chữ nhật Thể tích \( V \) của hình hộp chữ nhật được tính theo công thức: \[ V = AB \times AD \times AA' \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ V = 2a \times 3a \times 4a = 24a^3 \] Bước 3: Tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật Diện tích toàn phần \( S_{\text{TP}} \) của hình hộp chữ nhật được tính theo công thức: \[ S_{\text{TP}} = 2(AB \times AD + AB \times AA' + AD \times AA') \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ S_{\text{TP}} = 2(2a \times 3a + 2a \times 4a + 3a \times 4a) \] \[ S_{\text{TP}} = 2(6a^2 + 8a^2 + 12a^2) \] \[ S_{\text{TP}} = 2 \times 26a^2 = 52a^2 \] Kết luận - Thể tích của hình hộp chữ nhật là \( 24a^3 \). - Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là \( 52a^2 \). Đáp số: - Thể tích: \( 24a^3 \) - Diện tích toàn phần: \( 52a^2 \)