giúp tôi giải đúng sai d. Mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng $(P):~x+y-z-2=0.$,Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0.$,a. Mặt cầu (S) có đường kính bằng 6.,b. Mặt cầu (S) có tâm $I(a;b;c),$ khi đó $2a+b-c=1$,$c.~NI

Question

giúp tôi giải đúng sai d. Mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng $(P):~x+y-z-2=0.$,Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0.$,a. Mặt cầu (S) có đường kính bằng 6.,b. Mặt cầu (S) có tâm $I(a;b;c),$ khi đó $2a+b-c=1$,$c.~NI<R$ với $N(2;0;-1),$ I là tâm mặt cầu (S), R là bán kính mặt cầu (S).,d. Điểm $M(-3;1;2)$,nằm bên ngoài mặt cầu (S).,Câu 6: Trong không gian Oxyz cho ba điểm $A(1;0;0),~B(0;2;0)$ và $C(0;0;3).$,a. Mặt cầu tâm A, bán kính $R=2$ có phương trình $x^2+(y-1)^2+z^2=4.$,b. Mặt cầu tâm A, đi qua B có phương trình $(x-1)^2+y^2+z^2=5.$,c. Mặt cầu đường kính AB có phương trình $(x-1)^2+y^2+(z-3)^2=10.$,d. Điểm $C(0;0;3)$ nằm bên ngoài mặt cầu $x^2+y^2+(z-3)^2=9.$,Câu 7: Trong không gian Oxyz cho hai điểm $A(-3;0;1),~B(1;2;3).$,a. Mặt cầu nhận AB làm đường kính có tâm $I(-1;1;2).$,b. Mặt cầu nhận AB làm đường kính có bán kính $R=2\sqrt6$,c. Mặt cầu đường kính AB có phương trình $(x+1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=6.$,d. Điểm $M(1;0;2)$ nằm trên mặt cầu $(x+1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=6.$,Câu 8: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng $(\alpha):~2x+y-2z-3=0,~I(-1;2;-4)$,a. Mặt phẳng $(\alpha)$ có một vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow n=(2;1;-2)$,b. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng $(\alpha)$ bằng 3.,c. Mặt cầu tâm I tiếp xúc mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình: $(x+1)^2+(y-2)^2+(z+4)^2=\frac{25}9.$,d. Mặt cầu $(x+1)^2+(y-2)^2+(z+4)^2=\frac{25}9$ và mặt phẳng $(\beta):~x+2y-3z+1=0$ không có điểm,chung.,Câu 9: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng $(P_1):~x+3y-2z-3=0,(P_2):~2x+6y-4z+2=0.$,a. Mặt phẳng $(P_2)$ có một vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow n=(1;3;-2).$,b. Hai mặt phẳng (P,) và $(P_2)$ song song nhau.,c. Điểm $I(-1;0;0)$ nằm trên mặt phẳng $(P_2).$,d. Mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng $(P_1)$ có phương trình $:x^2+y^2+z^2-2x-6=0.$

Accepted Answer

Câu 5:
Để giải quyết các câu hỏi về mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Viết phương trình mặt cầu dưới dạng chuẩn
Phương trình mặt cầu $(S)$ có dạng tổng quát là:
$$ x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 2z - 3 = 0 $$

Chúng ta sẽ hoàn thành bình phương để viết lại phương trình này dưới dạng chuẩn của mặt cầu:
$$ (x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) + (z^2 + 2z) = 3 $$

Hoàn thành bình phương:
$$ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z + 1)^2 - 1 = 3 $$
$$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 1)^2 - 6 = 3 $$
$$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 1)^2 = 9 $$

Vậy phương trình chuẩn của mặt cầu là:
$$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 1)^2 = 3^2 $$

Từ đây, ta thấy tâm của mặt cầu là $I(1; -2; -1)$ và bán kính $R = 3$.

Bước 2: Kiểm tra các câu hỏi

Câu a: Mặt cầu (S) có đường kính bằng 6.
Đường kính của mặt cầu là $2R$. Vì $R = 3$, nên đường kính là:
$$ 2R = 2 \times 3 = 6 $$
Đáp án đúng.

Câu b: Mặt cầu (S) có tâm $I(a; b; c)$, khi đó $2a + b - c = 1$.
Tâm của mặt cầu là $I(1; -2; -1)$. Ta kiểm tra:
$$ 2a + b - c = 2 \times 1 + (-2) - (-1) = 2 - 2 + 1 = 1 $$
Đáp án đúng.

Câu c: $NI < R$ với $N(2; 0; -1)$, I là tâm mặt cầu (S), R là bán kính mặt cầu (S).
Ta tính khoảng cách từ điểm $N(2; 0; -1)$ đến tâm $I(1; -2; -1)$:
$$ NI = \sqrt{(2 - 1)^2 + (0 + 2)^2 + (-1 + 1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5} $$
Vì $\sqrt{5} < 3$, nên $NI < R$.
Đáp án đúng.

Câu d: Điểm $M(-3; 1; 2)$ nằm bên ngoài mặt cầu (S).
Ta tính khoảng cách từ điểm $M(-3; 1; 2)$ đến tâm $I(1; -2; -1)$:
$$ MI = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (1 + 2)^2 + (2 + 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9 + 9} = \sqrt{34} $$
Vì $\sqrt{34} > 3$, nên điểm $M$ nằm bên ngoài mặt cầu.
Đáp án đúng.

Kết luận
Các câu a, b, c và d đều đúng.

Câu 6:
a. Mặt cầu tâm A, bán kính $R=2$ có phương trình $x^2+(y-1)^2+z^2=4.$

Phương trình mặt cầu tâm A(1;0;0) và bán kính R = 2 là:
$(x - 1)^2 + y^2 + z^2 = 4$.

Vậy phát biểu này sai.

b. Mặt cầu tâm A, đi qua B có phương trình $(x-1)^2+y^2+z^2=5.$

Bán kính của mặt cầu là khoảng cách từ A đến B:
$AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Phương trình mặt cầu tâm A(1;0;0) và bán kính $\sqrt{5}$ là:
$(x - 1)^2 + y^2 + z^2 = 5$.

Vậy phát biểu này đúng.

c. Mặt cầu đường kính AB có phương trình $(x-1)^2+y^2+(z-3)^2=10.$

Trung điểm của đoạn thẳng AB là tâm của mặt cầu:
$M = \left(\frac{1+0}{2}; \frac{0+2}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}; 1; 0\right)$.

Bán kính của mặt cầu là khoảng cách từ M đến A hoặc B:
$MA = MB = \sqrt{\left(\frac{1}{2} - 1\right)^2 + (1 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Phương trình mặt cầu tâm M và bán kính $\frac{\sqrt{5}}{2}$ là:
$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{5}{4}$.

Vậy phát biểu này sai.

d. Điểm $C(0;0;3)$ nằm bên ngoài mặt cầu $x^2+y^2+(z-3)^2=9.$

Ta thay tọa độ của điểm C vào phương trình mặt cầu:
$0^2 + 0^2 + (3 - 3)^2 = 0 < 9$.

Vậy điểm C nằm trong mặt cầu, phát biểu này sai.

Đáp án: b. Mặt cầu tâm A, đi qua B có phương trình $(x-1)^2+y^2+z^2=5.$

Câu 7:
a. Mặt cầu nhận AB làm đường kính có tâm I(-1;1;2).

Để kiểm tra, ta tính trung điểm của đoạn thẳng AB:
$$ I = \left( \frac{-3 + 1}{2}, \frac{0 + 2}{2}, \frac{1 + 3}{2} \right) = (-1, 1, 2) $$

Vậy tâm của mặt cầu đúng là I(-1;1;2).

b. Mặt cầu nhận AB làm đường kính có bán kính R = 2√6.

Ta tính khoảng cách giữa A và B để tìm bán kính:
$$ AB = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (2 - 0)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} $$

Vậy bán kính của mặt cầu đúng là R = 2√6.

c. Mặt cầu đường kính AB có phương trình (x + 1)² + (y - 1)² + (z - 2)² = 6.

Phương trình mặt cầu có tâm I(-1;1;2) và bán kính R = 2√6 là:
$$ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = (2\sqrt{6})^2 = 24 $$

Vậy phương trình mặt cầu là:
$$ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 24 $$

d. Điểm M(1;0;2) nằm trên mặt cầu (x + 1)² + (y - 1)² + (z - 2)² = 6.

Thay tọa độ của M vào phương trình mặt cầu:
$$ (1 + 1)^2 + (0 - 1)^2 + (2 - 2)^2 = 2^2 + (-1)^2 + 0^2 = 4 + 1 + 0 = 5 $$

Vì 5 không bằng 24, nên điểm M không nằm trên mặt cầu.

Kết luận:
a. Đúng
b. Đúng
c. Sai (phương trình mặt cầu đúng là (x + 1)² + (y - 1)² + (z - 2)² = 24)
d. Sai (điểm M không nằm trên mặt cầu)

Đáp án: a, b

Câu 8:
a. Mặt phẳng $(\alpha):~2x+y-2z-3=0$ có một vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow n=(2;1;-2)$

b. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng $(\alpha)$ bằng 3.

c. Mặt cầu tâm I tiếp xúc mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình: $(x+1)^2+(y-2)^2+(z+4)^2=9.$

d. Mặt cầu $(x+1)^2+(y-2)^2+(z+4)^2=9$ và mặt phẳng $(\beta):~x+2y-3z+1=0$ không có điểm chung vì khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng lớn hơn bán kính mặt cầu.

Câu 9:
a. Mặt phẳng $(P_2)$ có một vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow n=(1;3;-2).$
Đáp án đúng là: Đúng
Mặt phẳng $(P_2):~2x+6y-4z+2=0$ có một vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow n=(2;6;-4)=(1;3;-2).$

b. Hai mặt phẳng (P,) và $(P_2)$ song song nhau.
Đáp án đúng là: Đúng
Hai mặt phẳng $(P_1):~x+3y-2z-3=0,(P_2):~2x+6y-4z+2=0$ có các vec tơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_{1}}=(1;3;-2),\overrightarrow{n_{2}}=(2;6;-4)=(1;3;-2).$
Ta thấy $\overrightarrow{n_{2}}=2\overrightarrow{n_{1}}$ nên hai vec tơ pháp tuyến đồng quy. Mà $(P_1)$ và $(P_2)$ không trùng nhau nên hai mặt phẳng song song nhau.

c. Điểm $I(-1;0;0)$ nằm trên mặt phẳng $(P_2).$
Đáp án đúng là: Sai
Thay tọa độ điểm $I(-1;0;0)$ vào phương trình $(P_2)$ ta được: $2\times (-1)+6\times 0-4\times 0+2=0.$
Vậy điểm $I$ nằm trên mặt phẳng $(P_2).$

d. Mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng $(P_1)$ có phương trình $:x^2+y^2+z^2-2x-6=0.$
Đáp án đúng là: Đúng
Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ điểm $I$ đến mặt phẳng $(P_1)$ và bằng $\frac{|-1+3\times 0-2\times 0-3|}{\sqrt{1^2+3^2+(-2)^2}}=\sqrt{14}.$
Phương trình mặt cầu là $(x+1)^2+y^2+z^2=14$ hay $x^2+y^2+z^2+2x-13=0.$