Cho dây AB của đường tròn (O;R) (AB<2R). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt (O;R) tại C. Chứng minh ba điểm A, O, C thẳng hàng trình bày chi tiết

Do A, B, C cùng thuộc đường tròn (O) nên 
$\displaystyle OA=OB=OC$
Ta có $\displaystyle OA=OB\Rightarrow \vartriangle OAB$ cân tại O$\displaystyle \Rightarrow \widehat{OAB} =\widehat{OBA}$ 
Lại có $\displaystyle \widehat{OAB} +\widehat{OBA} +\widehat{AOB} =180^{^{0}}$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{OBA} +\widehat{OBA} +\widehat{AOB} =180^{0}$ (do $\displaystyle \widehat{OAB} =\widehat{OBA}$)
$\displaystyle \Rightarrow 2\widehat{OBA} +\widehat{AOB} =180^{0}$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{OBA} =\frac{180^{0} -\widehat{AOB}}{2}$ (1)
Ta có $\displaystyle OB=OC\Rightarrow \vartriangle OBC$ cân tại O$\displaystyle \Rightarrow \widehat{OBC} =\widehat{OCB}$ 
Lại có $\displaystyle \widehat{OCB} +\widehat{OBC} +\widehat{COB} =180^{^{0}}$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{OBC} +\widehat{OBC} +\widehat{COB} =180^{0}$ (do $\displaystyle \widehat{OBC} =\widehat{OCB}$)
$\displaystyle \Rightarrow 2\widehat{OBC} +\widehat{COB} =180^{0}$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{OBC} =\frac{180^{0} -\widehat{COB}}{2}$ (2)
Do $\displaystyle AB\perp BC$ tại B nên $\displaystyle \widehat{ABC} =90^{0}$
Ta có $\displaystyle \widehat{ABO} +\widehat{OBC} =\widehat{ABC} =90^{0}$ (3)
Từ (1), (2), (3) $\displaystyle \Rightarrow \frac{180^{0} -\widehat{AOB}}{2} +\frac{180^{0} -\widehat{COB}}{2} =90^{0}$
$\displaystyle \Rightarrow \frac{180^{0} -\widehat{AOB} +180^{0} -\widehat{COB}}{2} =90^{0}$
$\displaystyle \Rightarrow 360^{0} -(\widehat{AOB} +\widehat{COB}) =180^{0}$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{AOB} +\widehat{COB} =180^{0}$
Mà A, C nằm khác phía với O
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{AOC} =180^{0}$
$\displaystyle \Rightarrow $A, O, C thẳng hàng