Hãy giải thích khái niệm về hàm số đồng biến và nghịch biến. Nêu rõ cách xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số qua đạo hàm.

Question

Accepted Answer

Khái niệm về hàm số đồng biến và nghịch biến: - Hàm số đồng biến: Hàm số $ f(x) $ được gọi là đồng biến trên khoảng $ I $ nếu với mọi $ x_1, x_2 $ thuộc $ I $ sao cho $ x_1 < x_2 $, ta có $ f(x_1) < f(x_2) $. - Hàm số nghịch biến: Hàm số $ f(x) $ được gọi là nghịch biến trên khoảng $ I $ nếu với mọi $ x_1, x_2 $ thuộc $ I $ sao cho $ x_1 < x_2 $, ta có $ f(x_1) > f(x_2) $. Cách xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số qua đạo hàm: - Đạo hàm dương: Nếu đạo hàm của hàm số $ f'(x) > 0 $ trên khoảng $ I $, thì hàm số $ f(x) $ đồng biến trên khoảng đó. - Đạo hàm âm: Nếu đạo hàm của hàm số $ f'(x) < 0 $ trên khoảng $ I $, thì hàm số $ f(x) $ nghịch biến trên khoảng đó. Lập luận từng bước: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Đầu tiên, ta cần tìm đạo hàm $ f'(x) $ của hàm số $ f(x) $. 2. Xác định dấu của đạo hàm: Sau khi tìm được đạo hàm, ta cần xác định dấu của đạo hàm $ f'(x) $ trên các khoảng đã cho hoặc toàn bộ miền xác định của hàm số. 3. Xác định tính đồng biến/nghịch biến: - Nếu $ f'(x) > 0 $ trên một khoảng $ I $, thì hàm số $ f(x) $ đồng biến trên khoảng đó. - Nếu $ f'(x) < 0 $ trên một khoảng $ I $, thì hàm số $ f(x) $ nghịch biến trên khoảng đó. Ví dụ minh họa: Xét hàm số $ f(x) = x^3 - 3x + 2 $. 1. Tìm đạo hàm: $$ f'(x) = 3x^2 - 3 $$ 2. Xác định dấu của đạo hàm: $$ f'(x) = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1) $$ Ta thấy $ f'(x) > 0 $ khi $ x < -1 $ hoặc $ x > 1 $, và $ f'(x) < 0 $ khi $ -1 < x < 1 $. 3. Xác định tính đồng biến/nghịch biến: - Hàm số $ f(x) $ đồng biến trên các khoảng $ (-\infty, -1) $ và $ (1, +\infty) $. - Hàm số $ f(x) $ nghịch biến trên khoảng $ (-1, 1) $. Qua đó, ta đã xác định được tính đồng biến và nghịch biến của hàm số $ f(x) = x^3 - 3x + 2 $ thông qua đạo hàm.