Giúp e với

Câu 11. Trước tiên, ta cần hiểu rõ các điều kiện đã cho: - (P) // (Q) có nghĩa là hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. - (R) cắt (P) có nghĩa là mặt phẳng (R) cắt qua mặt phẳng (P). Bây giờ, ta sẽ xem xét từng trường hợp để xác định vị trí tương đối giữa (Q) và (R): 1. Vì (P) // (Q), nên mọi đường thẳng nằm trong (P) sẽ song song với mọi đường thẳng nằm trong (Q). 2. Mặt phẳng (R) cắt qua (P), do đó nó cũng sẽ cắt qua (Q) vì (P) // (Q). Do đó, mặt phẳng (R) sẽ cắt qua cả (P) và (Q). Điều này loại trừ khả năng (Q) // (R) hoặc (Q) = (R). Vậy, mệnh đề đúng là: D. Chưa thể kết luận về vị trí giữa (Q) và (R). Lập luận: - (P) // (Q) và (R) cắt (P) suy ra (R) cắt (Q). - Do đó, chưa thể kết luận cụ thể về vị trí giữa (Q) và (R) chỉ dựa trên thông tin đã cho. Đáp án: D. Chưa thể kết luận về vị trí giữa (Q) và (R). Câu 12. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào các kiến thức về vị trí tương đối của hai mặt phẳng và đường thẳng trong không gian. 1. Xác định điều kiện ban đầu: - \(a \subset (P)\) và \(b \subset (P)\) - \(a\) và \(b\) cắt nhau tại một điểm. - \(a // (Q)\) và \(b // (Q)\) 2. Phân tích vị trí tương đối: - Vì \(a\) và \(b\) đều thuộc mặt phẳng \((P)\) và cắt nhau, nên \(a\) và \(b\) tạo thành một hệ đường thẳng độc lập trong mặt phẳng \((P)\). - Mặt khác, \(a\) và \(b\) cũng song song với mặt phẳng \((Q)\). 3. Áp dụng tính chất của mặt phẳng: - Nếu hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng và cả hai đường thẳng đó đều song song với một mặt phẳng khác, thì mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó phải song song với mặt phẳng kia. - Do đó, mặt phẳng \((P)\) phải song song với mặt phẳng \((Q)\). 4. Kết luận: - Từ các phân tích trên, ta thấy rằng mặt phẳng \((P)\) song song với mặt phẳng \((Q)\). Vậy, mệnh đề đúng về vị trí giữa \((P)\) và \((Q)\) là: B. \((P) // (Q)\) Đáp án: B. \((P) // (Q)\) Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của giới hạn của dãy số. Cụ thể, nếu $\lim u_n = 2$ và $\lim v_n = -3$, thì ta có thể áp dụng các tính chất giới hạn để tìm các giới hạn trong các lựa chọn. a) $\lim(u_n + v_n)$: Theo tính chất giới hạn của tổng hai dãy số, ta có: \[ \lim(u_n + v_n) = \lim u_n + \lim v_n = 2 + (-3) = -1 \] Vậy $\lim(u_n + v_n) = -1$. Đáp án đúng. b) $\lim(u_n - v_n)$: Theo tính chất giới hạn của hiệu hai dãy số, ta có: \[ \lim(u_n - v_n) = \lim u_n - \lim v_n = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5 \] Vậy $\lim(u_n - v_n) = 5$. Đáp án sai. c) $\lim\left(\frac{u_n}{v_n}\right)$: Theo tính chất giới hạn của thương hai dãy số, ta có: \[ \lim\left(\frac{u_n}{v_n}\right) = \frac{\lim u_n}{\lim v_n} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3} \] Vậy $\lim\left(\frac{u_n}{v_n}\right) = -\frac{2}{3}$. Đáp án đúng. d) $\lim(2u_n - 4v_n)$: Theo tính chất giới hạn của tổng và thương hai dãy số, ta có: \[ \lim(2u_n - 4v_n) = 2 \cdot \lim u_n - 4 \cdot \lim v_n = 2 \cdot 2 - 4 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \] Vậy $\lim(2u_n - 4v_n) = 16$. Đáp án sai. Tóm lại, các đáp án đúng là: a) $\lim(u_n + v_n) = -1$ c) $\lim\left(\frac{u_n}{v_n}\right) = -\frac{2}{3}$ Câu 2. a) Ta có: \[ f(x) = \frac{2x^2 - x}{x - 1} \] Tính giới hạn: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - x}{x - 1} = \frac{2(2)^2 - 2}{2 - 1} = \frac{8 - 2}{1} = 6 \] Vậy mệnh đề a) sai vì $\lim_{x \to 2} f(x) = 6$, không phải 5. b) Ta có: \[ g(x) = \sqrt{1 + 5} = \sqrt{6} \] Tính giới hạn: \[ \lim_{x \to 1} g(x) = \sqrt{6} \] Vậy mệnh đề b) sai vì $\lim_{x \to 1} g(x) = \sqrt{6}$, không phải 4. c) Ta có: \[ f(x) = \frac{2x^2 - x}{x - 1} \] Tính giới hạn: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - x}{x - 1} \] Phân tích tử số: \[ 2x^2 - x = x(2x - 1) \] Do đó: \[ f(x) = \frac{x(2x - 1)}{x - 1} \] Khi \( x \to 1 \), mẫu số \( x - 1 \to 0 \). Ta xét hai trường hợp: - Khi \( x \to 1^+ \): \[ \lim_{x \to 1^+} \frac{x(2x - 1)}{x - 1} = +\infty \] - Khi \( x \to 1^- \): \[ \lim_{x \to 1^-} \frac{x(2x - 1)}{x - 1} = -\infty \] Vậy mệnh đề c) sai vì giới hạn không tồn tại (phía trái và phía phải không giống nhau). d) Ta đã biết: \[ \lim_{x \to 1} f(x) \text{ không tồn tại} \] \[ \lim_{x \to 1} g(x) = \sqrt{6} \] Do đó: \[ \lim_{x \to 1} [f(x) + g(x)] \text{ không tồn tại} \] Vậy mệnh đề d) sai vì giới hạn không tồn tại. Kết luận: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) sai. - Mệnh đề c) sai. - Mệnh đề d) sai. Câu 3. a) Tần số tích luỹ của nhóm [115; 130) bằng 20 - Tần số tích luỹ của nhóm [115; 130) là tổng số người trong các nhóm dưới nó cộng với nhóm này: - Dưới 70: 2 người - [70; 85): 15 người - [85; 115): 45 người - [115; 130): 20 người Tổng tần số tích luỹ của nhóm [115; 130) là: \[ 2 + 15 + 45 + 20 = 82 \] Vậy mệnh đề này sai vì tần số tích luỹ của nhóm [115; 130) là 82, không phải 20. b) Số người có chỉ số IQ từ 85 đến dưới 115 chiếm tỉ lệ cao nhất - Số người có chỉ số IQ từ 85 đến dưới 115 là 45 người. - Tổng số người là 100 người. Tỉ lệ của nhóm này là: \[ \frac{45}{100} = 0,45 \text{ hoặc } 45\% \] So sánh với các nhóm khác: - Dưới 70: 2 người, tỉ lệ 2% - [70; 85): 15 người, tỉ lệ 15% - [115; 130): 20 người, tỉ lệ 20% - [130; 145): 15 người, tỉ lệ 15% - Từ 145 trở lên: 3 người, tỉ lệ 3% Nhóm [85; 115) có tỉ lệ cao nhất là 45%. Vậy mệnh đề này đúng. c) Biết rằng người có chỉ số IQ từ 85 đến dưới 115 là ở mức trung bình, tỉ lệ người có IQ cao hơn mức trung bình là 38% - Số người có IQ cao hơn mức trung bình (tức là từ nhóm [115; 130), [130; 145), và từ 145 trở lên): - [115; 130): 20 người - [130; 145): 15 người - Từ 145 trở lên: 3 người Tổng số người có IQ cao hơn mức trung bình là: \[ 20 + 15 + 3 = 38 \text{ người} \] Tỉ lệ của nhóm này là: \[ \frac{38}{100} = 0,38 \text{ hoặc } 38\% \] Vậy mệnh đề này đúng. d) Tỉ lệ người có IQ thấp hơn mức trung bình là 15% - Số người có IQ thấp hơn mức trung bình (tức là từ nhóm Dưới 70 và [70; 85)): - Dưới 70: 2 người - [70; 85): 15 người Tổng số người có IQ thấp hơn mức trung bình là: \[ 2 + 15 = 17 \text{ người} \] Tỉ lệ của nhóm này là: \[ \frac{17}{100} = 0,17 \text{ hoặc } 17\% \] Vậy mệnh đề này sai vì tỉ lệ người có IQ thấp hơn mức trung bình là 17%, không phải 15%. Kết luận: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) đúng. - Mệnh đề d) sai. Câu 4. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề a) EC // FD - Ta thấy rằng trong hình bình hành ABCD, đường thẳng EC và FD không phải là các đường thẳng song song cố định. Do đó, mệnh đề này là sai. Mệnh đề b) (ADF) // (BCE) - Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta cần chứng minh rằng hai mặt phẳng này không giao nhau hoặc có các đường thẳng tương ứng song song. - Mặt phẳng (ADF) chứa các điểm A, D, F. - Mặt phẳng (BCE) chứa các điểm B, C, E. - Vì A, B, C, D là các đỉnh của hình bình hành ABCD, nên các đường thẳng AD và BC song song. Tuy nhiên, đường thẳng AF và BE không song song cố định. - Do đó, mệnh đề này là sai. Mệnh đề c) IJ qua M và IJ // AF - Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với mặt phẳng (ADF). - Mặt phẳng (P) cắt AB, AC, CD, EF lần lượt tại I, N, K, J. - Vì (P) song song với (ADF), nên các đường thẳng cắt trên (P) sẽ song song với các đường thẳng tương ứng trên (ADF). - Đường thẳng IJ nằm trong mặt phẳng (P) và song song với AF vì (P) song song với (ADF). - Do đó, mệnh đề này là đúng. Mệnh đề d) $\frac{AN}{NC} = 3$ - Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với mặt phẳng (ADF). - Mặt phẳng (P) cắt AC tại N. - Vì M là trọng tâm của $\Delta ABE$, nên M chia mỗi đường trung tuyến của $\Delta ABE$ thành tỉ số 2:1. - Mặt phẳng (P) song song với (ADF), do đó các đường thẳng cắt trên (P) sẽ chia các đoạn thẳng tương ứng trên (AC) theo cùng một tỉ số. - Do đó, $\frac{AN}{NC} = 2$ (vì M chia mỗi đường trung tuyến của $\Delta ABE$ thành tỉ số 2:1). Do đó, mệnh đề này là sai. Kết luận: - Mệnh đề a) là sai. - Mệnh đề b) là sai. - Mệnh đề c) là đúng. - Mệnh đề d) là sai.