giải phương trình $c)~\sin^2(x+\frac\pi4)=\sin^2(2x+\frac\pi2);$

Question

Accepted Answer

Để giải phương trình $\sin^2(x + \frac{\pi}{4}) = \sin^2(2x + \frac{\pi}{2})$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- Phương trình đã cho không chứa các ràng buộc đặc biệt về biến số $x$, do đó ĐKXĐ là $x \in \mathbb{R}$.

Bước 2: Chuyển đổi phương trình
- Ta biết rằng $\sin^2 A = \sin^2 B$ nếu và chỉ nếu $A = B + k\pi$ hoặc $A = -B + k\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$.
- Áp dụng vào phương trình đã cho:
  $$
  \sin^2(x + \frac{\pi}{4}) = \sin^2(2x + \frac{\pi}{2})
  $$
  Điều này tương đương với:
  $$
  x + \frac{\pi}{4} = 2x + \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x + \frac{\pi}{4} = -(2x + \frac{\pi}{2}) + k\pi
  $$

Bước 3: Giải từng trường hợp
- Trường hợp 1: $x + \frac{\pi}{4} = 2x + \frac{\pi}{2} + k\pi$
  $$
  x + \frac{\pi}{4} = 2x + \frac{\pi}{2} + k\pi
  $$
  $$
  x - 2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + k\pi
  $$
  $$
  -x = \frac{\pi}{4} + k\pi
  $$
  $$
  x = -\frac{\pi}{4} - k\pi
  $$
  $$
  x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{(với } k \in \mathbb{Z})
  $$

- Trường hợp 2: $x + \frac{\pi}{4} = -(2x + \frac{\pi}{2}) + k\pi$
  $$
  x + \frac{\pi}{4} = -2x - \frac{\pi}{2} + k\pi
  $$
  $$
  x + 2x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + k\pi
  $$
  $$
  3x = -\frac{3\pi}{4} + k\pi
  $$
  $$
  x = -\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{3}
  $$
  $$
  x = -\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{3} \quad \text{(với } k \in \mathbb{Z})
  $$

Bước 4: Kết luận nghiệm
- Nghiệm của phương trình là:
  $$
  x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{3} \quad \text{(với } k \in \mathbb{Z})
  $$

Đáp số: 
$$
x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{3} \quad \text{(với } k \in \mathbb{Z})
$$