Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
Câu I:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm đạo hàm của hàm số để xác định hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M có .
2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M.
3. Xác định giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ.
4. Tính diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến và các trục tọa độ.
5. Giải phương trình để tìm giá trị của .
Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các bước trên.
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số
Hàm số đã cho là:
Đạo hàm của hàm số theo là:
Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M có
Tại :
Hệ số góc của tiếp tuyến tại là 4.
Giá trị của hàm số tại là:
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có dạng:
Bước 3: Xác định giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ
- Giao điểm với trục (khi ):
Giao điểm là .
- Giao điểm với trục (khi ):
Giao điểm là .
Bước 4: Tính diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến và các trục tọa độ
Diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến và các trục tọa độ là:
Theo đề bài, diện tích tam giác bằng 2:
Bước 5: Giải phương trình để tìm giá trị của
Có hai trường hợp:
1.
2.
Trường hợp 1:
Giải phương trình bậc hai:
Trường hợp 2:
Giải phương trình bậc hai:
Vậy, các giá trị của là:
Câu II:
1) Đặt . Ta có:
Suy ra:
Phương trình ban đầu trở thành:
Ta biết rằng:
Thay vào phương trình:
Mà ta đã có:
Do đó:
Giải phương trình này để tìm , sau đó thay ngược lại để tìm .
2) Xét dãy số:
Nhận thấy rằng:
Dãy số trên có thể viết lại dưới dạng:
Ta có:
Giải phương trình này để tìm .
3) Ta có:
Đặt . Ta cần tính đạo hàm .
Ta có:
Vậy:
Câu III:
1) Điều kiện xác định:
Ta có:
Biến đổi vế trái:
Biến đổi vế phải:
Do đó:
Chuyển sang vế phải:
Chuyển sang vế trái:
Bình phương hai vế:
Chuyển tất cả về một vế:
Giải phương trình bậc hai:
Kiểm tra điều kiện :
2) Ta có hệ phương trình:
Từ phương trình thứ nhất:
Từ phương trình thứ hai:
Thử nghiệm các giá trị và :
Thay vào phương trình thứ nhất:
Thử nghiệm khác:
Thay vào phương trình thứ nhất:
Tiếp tục thử nghiệm cho đến khi tìm được nghiệm đúng:
Thay vào phương trình thứ nhất:
Thay vào phương trình thứ hai:
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
Câu IV:
Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước một cách chi tiết.
Bài 1:
Cho hình vuông với đỉnh thuộc đường thẳng . Điểm thuộc cạnh và chiếu vuông góc của trên và đều nằm trên đường thẳng .
1. Tìm tọa độ đỉnh :
- Giả sử , , , là tọa độ các đỉnh của hình vuông.
- Vì thuộc đường thẳng , ta có phương trình:
- Chiếu vuông góc của trên và đều nằm trên , do đó:
- Phương trình đường thẳng là .
- Phương trình đường thẳng là .
- Chiếu vuông góc của trên có dạng và thuộc , do đó:
- Chiếu vuông góc của trên có dạng và thuộc , do đó:
- Từ hai phương trình trên, ta có:
- Do thuộc , ta có phương trình đường thẳng là .
- Thay vào phương trình , ta có:
- Từ các điều kiện trên, ta có hệ phương trình:
- Giải hệ phương trình này, ta tìm được tọa độ của .
Bài 2:
Cho hình vuông cạnh . Gọi là giao điểm của hai đường chéo. Trên nửa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, lấy điểm sao cho góc . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và :
- Gọi là gốc tọa độ, , , , .
- Điểm nằm trên trục với tọa độ .
- Góc nghĩa là:
- Tính và .
- Tính tích vô hướng và độ dài các vector, từ đó tìm .
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng này.
Với các bước trên, bạn có thể tính toán cụ thể để tìm ra kết quả cuối cùng.
Câu V:
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
Theo giả thiết , suy ra .
Bây giờ ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Ta có:
Suy ra:
Do đó:
Thay vào biểu thức ta có:
Để tìm giá trị lớn nhất của , ta xét trường hợp và . Ta có:
Thay vào biểu thức ta có:
(đúng)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là .
Đáp số: Giá trị lớn nhất của biểu thức là 9.
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.